Пусть задана функция . Так как x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной x приращение , сохраняя значение y неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается . Итак, .
Аналогично получаем частное приращение z по y: .
Полное приращение функции z определяется равенством .
Если существует предел , то он называется частной производной функции в точке по переменной x и обозначается одним из символов:
.
Частные производные по x в точке обычно обозначают символами 
.
Аналогично определяется и обозначается частная производная от по переменной y:
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находится по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно x или y считаются постоянной величиной).
Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:
; 
;
; 
.
Дифференциалы 1 и 2 порядка функции двух переменных.
Полный дифференциал функции (формула 2.5) называют дифференциалом первого порядка.
Формула для вычисления полного дифференциала имеет следующий вид:
(2.5) или 
, где ,
частные дифференциалы функции .
Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:
Отсюда: 
. Символически это записывается так:
.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Первообразная функции, неопределенный интеграл, свойства.
Функция F(x) называется первообразной для данной функции f{x), если F"(x)=f(x), или, что то же, если dF(x)=f(x)dx.
Теорема. Если функция f(x), определенная в некотором промежутке (X) конечной или бесконечной длины, имеет одну первообразную, F(x), то она имеет и бесконечно много первообразных; все они содержатся в выражении F(x)+С, где С - произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для данной функции f(x), определенной в некотором промежутке или на некотором отрезке конечной или бесконечной длины, называется неопределенным интегралом от функции f(x) [или от выражения f(x)dx ] и обозначается символом .
Если F(x) есть одна из первообразных для f(x), то согласно теореме о первообразных
, где С есть произвольная постоянная.
По определению первообразной F"(x)=f(x) и, следовательно, dF(x)=f(x) dx. В формуле (7.1), f(x) называется подинтегральной функцией, а f(x) dx - подинтегральным выражением.
Каждая частная производная (по x и по y ) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:
(где y = const),
(где x = const).
Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной , считая при этом другую переменную постоянной (константой).
Если Вам не нужен разбор примеров и необходимого для этого минимума теории, а нужно лишь решение Вашей задачи, то переходите к калькулятору частных производных онлайн .
Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число - тогда можно будет быстрее вычислить частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной. Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть на место константу (переменную с фиксированном значением).
Описанное выше свойство частных производных следует из определения частной производной, которое может попасться в экзаменационных вопросах. Поэтому для ознакомления с определением ниже можно открыть теоретическую справку.
Понятие непрерывности функции z = f (x , y ) в точке определяется аналогично этому понятию для функции одной переменной.
Функция z = f (x , y ) называется непрерывной в точке если
Разность (2) называется полным приращением функции z (оно получается в результате приращений обоих аргументов).
Пусть заданы функция z = f (x , y ) и точка
Если изменение функции z происходит при изменении только одного из аргументов, например, x , при фиксированном значении другого аргумента y , то функция получит приращение
называемое частным приращением функции f (x , y ) по x .
Рассматривая изменение функции z в зависимости от изменения только одного из аргументов, мы фактически переходим к функции одной переменной.
Если существует конечный предел
то он называется частной производной функции f (x , y ) по аргументу x и обозначается одним из символов
(4)
Аналогично определяются частное приращение z по y :
и частная производная f (x , y ) по y :
(6)
Пример 1.
Решение. Находим частную производную по переменной "икс":
(y
фиксировано);
Находим частную производную по переменной "игрек":
(x фиксировано).
Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована: в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную. Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль.
Пример 2. Дана функция
Найти частные производные
(по иксу) и (по игреку) и вычислить их значения в точке А (1; 2).
Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции (таблица производных функций одной переменной ):
.
При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции, а второго – как производная постоянной:
Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2):
Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .
Пример 3. Найти частные производные функции
Решение. В один шаг находим
(y x , как если бы аргументом синуса было 5x : точно так же 5 оказывается перед знаком функции);
(x фиксировано и является в данном случае множителем при y ).
Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .
Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных.
Если каждому набору значений (x ; y ; ...; t ) независимых переменных из множества D соответствует одно определённое значение u из множества E , то u называют функцией переменных x , y , ..., t и обозначают u = f (x , y , ..., t ).
Для функций трёх и более переменных геометрической интерпретации не существует.
Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.
Пример 4. Найти частные производные функции
.
Решение. y и z фиксированы:
x и z фиксированы:
x и y фиксированы:
Найти частные производные самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 5.
Пример 6. Найти частные производные функции .
Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной , - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.
Пример 8. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией
где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.
Частная производная функции П по R , равная
показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.
Частная производная П по N , равная
показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.
Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .
Полный дифференциал
Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:
Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством
(7)
Пример 9. Найти полный дифференциал функции
Решение. Результат использования формулы (7):
Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.
Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение
Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.
Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции.
Теорема. Если функция z = f (x , y ) имеет непрерывные частные производные
в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7).
Можно показать, что подобно тому, как в случае функции одной переменной дифференциал функции является главной линейной частью приращения функции , так и в случае функции нескольких переменных полный дифференциал является главной, линейной относительно приращений независимых переменных частью полного приращения функции.
Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид
(8)
где α и β – бесконечно малые при и .
Частные производные высших порядков
Частные производные и функции f (x , y ) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков.
Понятие функции многих переменных
Пусть имеется n-перем-х и каждому х 1 , х 2 … х n из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z, тогда на множ-ве х задана ф-ция Z=f(х 1 , х 2 … х n) многих переменных.
Х – обл-ть опред-я ф-ции
х 1 , х 2 … х n – независ-е переем-е (аргументы)
Z – ф-ция Пример: Z=П х 2 1 *х 2 (Объем цилиндра)
Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х 1 , х 2 замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.
Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.
Пример: х = х 0 , зн. пл-ть Х || 0уz у = у 0 0хz Вид ф-ции: Z=f(х 0 ,y); Z=f(x,у 0)
Например: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Парабола окруж-ть(центр(0;1)
Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х 0 ,y 0), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(х;у) непрерывна в т.(х 0 ,y 0), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х 0 и у к у 0 ; - этот предел = знач-ю ф-ции в т.(х 0 ,y 0), т.е. limf(х;у)=f(х 0 ,y 0) Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области Дифференциал ф-ции, его геом смысл. Применение диф-ла в приближенных значениях.
dy=f’(x)∆x – диф-л ф-ции dy=dx, т.е. dy=f ’(x)dx если у=х С геом точки зрения диф-л ф-ции – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке с абсциссой х 0 Диф-л применяют в вычислении приближ. значений ф-ции по формуле: f(х 0 +∆x)~f(х 0)+f’(х 0)∆x Чем ближе ∆x к х, тем результат точнее Частные производные первого и второго порядка
Производная первого порядка(которая называется частной) О. Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+ х, y+ у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х 0, у 0. Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y) Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е. Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной. Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х, у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const. Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания. Связанные const соединены с функцией операциями умножения/деления. Производная изолированной const = 0 1.4.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
Пусть z = f(x,y), тогда tz = Частная производная 2-го порядка Для непрерывных функций 2-х переменных смешанные частные производные 2-го порядка и совпадают. Применение частных производных к определению частных производных max и min функций называются экстремумами. О. Точки называются max или min z = f(x,y), если существуют некоторые отрезки такие, что для всех x и y из этой окрестности f(x,y) Т. Если задана точка экстремума функции 2-х переменных, то значение частных производных в этой точке равны 0, т.е. , Точки , в которых частные производные первого порядка называются стационарными или критическими. Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия экстремума. Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка, 1) , причем maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Полный дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях
О. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности в точки . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке Где А – постоянная величина, не зависящая от , при фиксированной точке х, - бесконечно малая при . Линейная относительно функция А называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df() или dy. Таким образом, выражение (1) можно записать в виде Дифференциал функции в выражении (1) имеет вид dy = A . Как и всякая линейная функция, он определен для любого значений Для удобства записи дифференциала приращение обозначают dx и называют его дифференциалом независимой переменной x. Поэтому дифференциал записывают в виде dy = Adx. Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных – точки x и переменной dx: Т. Для того, чтобы функция y = g(x) была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом (*)Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке , т.е. Поэтому производная f’() существует и равна А. Отсюда dy = f’()dx Достаточность. Пусть существует производная f’(), т.е. = f’(). Тогда
кривую y = f(x) отрезком касательной. Для вычисления значения функции в точке х берут в некоторой ее окрестности точку , такую, что не составляет труда найти f() и f’()/ Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом). Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z"_x, z"_y $ и находятся по формулам: Частные производные первого порядка
$$ z"_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$ $$ z"_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$ Частные производные второго порядка
$$ z""_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$ $$ z""_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$ Смешанная производная
$$ z""_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$ $$ z""_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$ Частная производная сложной функции
а) Пусть $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле: $$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$ б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле: $$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$ Частные производные неявно заданной функции
а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f"_x}{f"_y} $$ б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z"_x = - \frac{F"_x}{F"_z}; z"_y = - \frac{F"_y}{F"_z} $$ Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z"_x = (e^{xy})"_x = e^{xy} \cdot (xy)"_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z"_y = (e^{xy})"_y = e^{xy} \cdot (xy)"_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z""_{xx} = (z"_x)"_x = (ye^{xy})"_x = (y)"_x e^{xy} + y(e^{xy})"_x = 0 + ye^{xy}\cdot (xy)"_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z""_{yy} = (z"_y)"_y = (xe^{xy})"_y = (x)"_y e^{xy} + x(e^{xy})"_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z"_x $ по $ y $, а можно $ z"_y $ по $ x $, так как по теореме $ z""_{xy} = z""_{yx} $ $$ z""_{xy} = (z"_x)"_y = (ye^{xy})"_y = (y)"_y e^{xy} + y (e^{xy})"_y = ye^{xy}\cdot (xy)"_y = yxe^{xy} $$ Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных от нахождения «обычных» производных функции одной переменной: 1) Когда мы находим частную производную
, то переменнаясчитается константой.
2) Когда мы находим частную производную
, то переменнаясчитается константой.
3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (,
либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре. Обозначения:
Или – вторая производная по «икс» Или – вторая производная по «игрек» Или – смешанная
производная «по икс игрек» Или – смешанная
производная «по игрек икс» В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.
Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные первого порядка: Сначала найдем смешанные производные: Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек». Аналогично: Для практических примеров, когда все частные производные непрерывны, справедливо следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка. Находим вторую производную по «икс». Никаких изобретений, берем Аналогично: Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание
, так как никаких чудесных равенств для проверки не существует. Пример 2
Найти частные производные первого и второго порядка функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). При определенном опыте частные производные из примеров №№1,2 будут решаться Вами устно. Переходим к более сложным примерам. Пример 3
Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка . Решение: Находим частные производные первого порядка: Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении. Дальнейшие комментарии: (1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом. (2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни. (1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является . (2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения (3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: Теперь находим смешанные производные второго порядка: Значит, все вычисления выполнены верно. Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах. Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид: В данном случае: То есть, в формулу нужно просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях: Пример 4
Найти частные производные первого порядка функции Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока. Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции. Пример 5
(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции (2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде. Аналогично: Запишем полный дифференциал первого порядка: Пример 6
Найти частные производные первого порядка функции Записать полный дифференциал . Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации. Пример 7
Найти частные производные первого порядка функции . (1) Используем правило дифференцирования суммы. (2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». (Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в алгоритме ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь мы имеем произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс»
, поэтому нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.
- называется полным приращением
, где представлено в виде (1)
().
в то время, как приращение функции необходимо рассматривать только для таких , для которых + принадлежит области определения функции f(x). . Тогда
Формула
Примеры решений
Пример 1
Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $
Решение
Ответ
$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$
Пример 2
Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $
Решение
Ответ
$$ z"_x = ye^{xy}; z"_y = xe^{xy}; z""_{xy} = yxe^{xy} $$
Пример 4
Пусть $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.
Решение
Ответ
$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$
и дифференцируем её по «икс» еще раз:
.
.
.
. Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
. С урока Производная сложной функции
следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется
.
.