Определяемый формулой $a{{x}^{2}}+bx+c$ $(a\ne 0).$ Числа $a, b$ и $c$ - коэффициенты квадратного трехчлена, они обычно называются: a - старший, b - второй или средний коэффициент, c - свободный член. Функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной функцией.
У всех этих парабол вершина находится в начале координат; при a > 0 это наинизшая точка графика (наименьшее значение функции), а при a < 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.
Как видно, при a > 0 парабола направлена вверх, при a < 0 - вниз.
Существует простой и удобный графический способ, позволяющий строить любое число точек параболы y = ax 2 без вычислений, если известна точка параболы, отличная от вершины. Пусть точка M(x 0 , y 0) лежит на параболе y = ax 2 (рис. 2). Если мы хотим построить между точками O и M дополнительно еще n точек, то делим отрезок ON оси абсцисс на n + 1 равных частей и в точках деления проводим перпендикуляры к оси Ox. На столько же равных частей делим отрезок NM и точки деления соединяем лучами с началом координат. Искомые точки параболы лежат на пересечении перпендикуляров и лучей с одинаковыми номерами (на рис. 2 число точек деления равно 9).
График функции y =ax 2 + bx + c отличается от графика y = ax 2 лишь своим положением и может быть получен просто перемещением кривой на чертеже. Это следует из представления квадратного трехчлена в виде
откуда легко заключить, что график функции y = ax 2 + bx + c есть парабола y = ax 2 , вершина которой перенесена в точку
а ось её симметрии осталась параллельной оси Oy (рис. 3). Из полученного выражения для квадратного трехчлена легко следуют все его основные свойства. Выражение D = b 2 − 4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена ax 2 + bx + c и дискриминантом связанного с ним квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. От знака дискриминанта зависит, пересекает ли график квадратного трехчлена ось абсцисс или лежит по одну сторону от нее. Именно, если D < 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a > 0, то парабола лежит выше оси Ox, а если a < 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D > 0 график квадратного трехчлена пересекает ось абсцисс в двух точках x 1 и x 2 , которые являются корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 и равны соответственно
При D = 0 парабола касается оси Ox в точке
Свойства квадратного трехчлена лежат в основе решения квадратных неравенств. Поясним это на примере. Пусть требуется найти все решения неравенства 3x 2 - 2x - 1 < 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D > 0, то соответствующее квадратное уравнение 3x 2 − 2x − 1 = 0 имеет два различных корня, они определяются по формулам, приведенным ранее:
x 1 = −1/3 и x 2 = 1.
В рассматриваемом квадратном трехчлене a = 3 > 0, значит, ветви его графика направлены вверх и значения квадратного трехчлена отрицательны лишь в интервале между корнями. Итак, все решения неравенства удовлетворяют условию
−1/3 < x < 1.
К квадратным неравенствам могут быть сведены разнообразные неравенства теми же самыми заменами, какими различные уравнения сводятся к квадратному.
Определение
Параболой называется график квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$, где $a \neq 0$.
График функции $y = x^2$.
Для схематичного построения графика функции $y = x^2$ найдем несколько точек, удовлетворяющих этому равенству. Для удобства запишем координаты этих точек в виде таблицы:
График функции $y = ax^2$.
Если коэффициент $a > 0$, то график $y = ax^2$ получается из графика $y = x^2$ либо вертикальным растяжением (при $a > 1$), либо сжатием к оси $x$ (при $0 < a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = 2x^2$ | $y = \dfrac{x^2}{2}$ |
|
|
Если же $a < 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = - x^2$ | $y = -2x^2$ | $y = - \dfrac{x^2}{2}$ |
|
|
|
График квадратичной функции.
Для построения графика функции $y = ax^2 + bx + c$ нужно выделить из квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ полный квадрат, то есть представить его в виде $a(x - x_0)^2 + y_0$. График функции $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ получается из соответствующего графика $y = ax^2$ смещением на $x_0$ вдоль оси $x$, и на $y_0$ вдоль оси $y$. В итоге точка $(0;0)$ переместится в точку $(x_0;y_0)$.
Определение
Вершиной параболы $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ называется точка с координатами $(x_0;y_0)$.
Построим параболу $y = 2x^2 - 4x - 6$. Выделив полный квадрат, получим $y = 2(x - 1)^2 - 8$.
| Построим график $y = 2x^2$ | Сместим его вправо на 1 | И вниз на 8 |
|
|
|
В итоге получилась парабола с вершиной в точке $(1;-8)$.
График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ пересекает ось $y$ в точке $(0; c)$ и ось $x$ в точках $(x_{1,2};0)$, где $x_{1,2}$ - корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при этом если корней у уравнения нет, то соответствующая парабола не пересекает оси $x$).
Например, парабола $y = 2x^2 - 4x - 6$ пересекает оси в точках $(0; -6)$, $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.