На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье . Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:
А что же угол? Есть ли катет, который находится напротив угла, то есть противолежащий (для угла) катет? Конечно, есть! Это катет!
А как же угол? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу? Конечно же, катет. Значит, для угла катет - прилежащий, и
А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:
Видишь, как здорово:
Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.
Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу? Противолежащим, конечно - он «лежит» напротив угла. А катет? Прилегает к углу. Значит, что у нас получилось?
Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?
И теперь снова углы и совершили обмен:
Резюме
Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.
 |
Теорема Пифагора: |
Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора.
Теорема Пифагора
Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания
Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной.
Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и!
А теперь соединим отмеченные точки
Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.
Чему же равна площадь большего квадрата?
Правильно, .
А площадь меньшего?
Конечно, .
Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами.
Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна.
Давай теперь соберем всё вместе.
Преобразуем:
Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом.
Прямоугольный треугольник и тригонометрия
Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:
Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.
И ещё раз всё это в виде таблички:
Это очень удобно!
Признаки равенства прямоугольных треугольников
I. По двум катетам
II. По катету и гипотенузе
III. По гипотенузе и острому углу
IV. По катету и острому углу
a)
b)
Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:
То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.
Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим .
Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников?
Загляни в тему « и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны.
А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?
Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
I. По острому углу
II. По двум катетам
III. По катету и гипотенузе
Медиана в прямоугольном треугольнике
Почему это так?
Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.
Проведём диагональ и рассмотрим точку - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?
И что из этого следует?
Вот и получилось, что
- - медиана:
Запомни этот факт! Очень помогает!
А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.
Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку
Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?
Вот давай мы начнём с этого «кроме того...».
Посмотрим на и.
Но у подобных треугольников все углы равны!
То же самое можно сказать и про и
А теперь нарисуем это вместе:
Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.
Ну, например - две формулы для высоты прямоугольного треугольника.
Запишем отношения соответствующих сторон:
Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :
Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!
Итак, применим подобие: .
Что теперь получится?
Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу :
Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее.
Запишем их ещё раз
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- по двум катетам:
- по катету и гипотенузе: или
- по катету и прилежащему острому углу: или
- по катету и противолежащему острому углу: или
- по гипотенузе и остром углу: или.
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
- одному острому углу: или
- из пропорциональности двух катетов:
- из пропорциональности катета и гипотенузы: или.
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
- Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
- Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
- Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
- Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .
Высота прямоугольного треугольника: или.
В прямоугольном треугольнике медиана , проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: .
Площадь прямоугольного треугольника:
- через катеты:
Известны три признака равенства любых треугольников:
- по двум сторонам и углу между ними;
- по двум угла и стороне между ними;
- по трем сторонам.
У двух прямоугольных треугольников всегда одна пара углов равна друг другу - это прямые углы. Поэтому признаки равенства треугольников для прямоугольных треугольников упрощаются в том смысле, что для утверждения, что треугольники равны, надо знать о равенстве меньшего количества элементов.
Первый признак равенства треугольников для прямоугольных треугольников сокращается до равенства двух катетов: если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого, то эти треугольники равны . Действительно, ведь между катетами лежит прямой угол, который у обоих треугольников равен 90°.
На основе второго признака равенства треугольников утверждается, что если в у одного прямоугольного треугольника катет и прилежащий к нему непрямой угол равны катету и прилежащему к нему непрямому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны . Действительно, ведь катеты получаются лежащим между равными углами. С одной стороны равны острые углы, а с другой - прямые.
Поскольку острые углы в прямоугольных треугольниках в сумме всегда равны 90°, то если у двух прямоугольных треугольников равен один острый угол, то значит будет равен и другой. Например a - один угол, то 90° – a другой угол у обоих треугольников.
Поэтому прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного равен гипотенузе и острому углу другого , так как по-сути нам известны все острые углы прямоугольных треугольников. И получается равенство по двум углам и стороне между ними.
Также в следствие того, что если известен один острый угол прямоугольного треугольника, то известен и другой, вытекает равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу . В этом случае «работает» второй признак равенства треугольников: по стороне и прилежащей к ней двум углам (один прямой, другой вычисленный).
Кроме перечисленных признаков равенства прямоугольных треугольников существует еще один, которые напрямую не вытекает из трех признаков равенства треугольников: если у прямоугольных треугольников равны по одному катету и гипотенузы, то такие треугольники равны .
Этот признак равенства можно доказать.
Приложим прямоугольные треугольники друг к другу равными катетами так, чтобы прямые углы оказались по разные стороны от полученной общей стороны, а гипотенузы по разные стороны от нее. Эти гипотенузы равны по условию, а значит мы получили равнобедренный треугольник. Значит углы при вершинах, которые отстоят от общей стороны (которой они были приложены друг к другу), равны. Это в свою очередь значит, что у треугольников равны гипотенуза, катет и противоположный ему угол. Но существуют признаки равенства по гипотенузе и острому углу, по катету и противолежащему углу. Значит данные прямоугольные треугольники, у которых равны катет и гипотенуза, равны.
(Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе)
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 ,
∠C=90°, ∠C 1 =90°,
BC=B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 ,
Доказать:
ΔABC= ΔA 1 B 1 C 1
Доказательство:
I. На луче BC с другой стороны от точки C отложим отрезок CD, CD=CB.
Соединим точки A и D отрезком.
На луче B 1 C 1 с другой стороны от точки C 1 отложим отрезок C 1 D 1 , C 1 D 1 =C 1 B 1 .
Проведём отрезок A 1 D 1 .
II. В треугольниках ACD и ACB:
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AD=AB.
Аналогично доказывается равенство треугольников A 1 C 1 D 1 и A 1 C 1 B 1 и равенство их сторон A 1 D 1 =A 1 B 1 .
III. Так как AB=A 1 B 1 , то и AD=A 1 D 1 .
IV. В треугольниках ABD и A 1 B 1 D 1:
1) AB=A 1 B 1 (по условию);
2) AD=A 1 D 1 (по доказанному);
3) BD=2BC=2B 1 C 1 =B 1 D 1 .
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠B=∠B 1 .
Разделы: Математика
Тема: “Признаки равенства прямоугольных треугольников”
Цель: закрепление знаний (свойства прямоугольных треугольников), знакомство с некоторыми признаками равенства прямоугольных треугольников.
Ход урока:
I. Оргмомент.II. Устно.
1. Ответить на вопросы:
- Назвать элементы прямоугольного треугольника.
- Какими свойствами обладают элементы прямоугольного треугольника?
- Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.
- Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол лежащий против этого катета равен 30 0 .
- Найти x. Ответ выбрать из треугольника. Буквы какого-то слова находятся в секторах треугольника. Обсуждение в парах (3 мин).
Рисунок 1.
Составили слово “признак”.
III. Изучение нового материалаИзучая треугольники, мы говорим, что он обладает некоторыми свойствами и признаками. А какие признаки равенства треугольников вам известны? Мы сформулировали и доказали свойства прямоугольных треугольников, а сегодня рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников, будем решать задачи с их применением.
Доказывая равенство треугольников, сколько пар соответственно равных элементов отыскивали? А возможно ли доказать равенство прямоугольных треугольников по двум катетам?
Перед вами два прямоугольных треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 , у них соответственно равны катеты. Докажите, если это возможно, их равенство.
№1. (По двум катетам)
Рисунок 2.
Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , АВ = А 1 В 1 , ВС = В 1 С 1
Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1
Как прозвучит признак? (Затем задача №1)
№2. (По катету и прилежащему к нему острому углу)
Рисунок 3.
Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , ВС = В 1 С 1, С= С 1
Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1
Как прозвучит признак? (Затем задача №2)
№3. (По гипотенузе и острому углу)
Рисунок 4.
Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , АС = А 1 С 1, А= А 1
Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1
Как прозвучит признак? (Затем задача №3)
Задачи. Найти равные треугольники и доказать их равенство.
Рисунок 5.
IV. Закрепление изученного на уроке.Решить следующую задачу.
Рисунок 6.
Дано: АВС, А 1 В 1 С 1 , DAB=CBA=90 0 , АD = BD
Доказать: CAB=DBA.
Обсуждение в четверках (3 мин).
Зачем задача из учебника №261 с записью.
Рисунок 7.
Дано: АВС – равнобедренный, AD и CE – высота АВС
Доказать: AD = CE
Доказательство:
V. Задание на дом.
П.35 (три признака), №261 (доказать, что АОС - равнобедренный), №268 (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу).
На следующем уроке геометрии мы продолжим знакомство с признаками равенства прямоугольных треугольников. Отметки выставлю также в следующий раз по результатам за 2 урока.
Дополнительно. Найти равные треугольники.
Чтобы установить равенство прямоугольных треугольников, достаточно знать, что два элемента одного треугольника соответственно равны двум элементам другого треугольника (исключая прямой угол). Это, конечно, не распространяется на равенство двух углов одного треугольника двум углам другого треугольника.
Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис 5).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 6).
Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.
ТЕОРЕМА . Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 7).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из свойства 1є § следует, что в таких треугольниках два других острых угла тоже равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим углам.
Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА . Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых углы C и C 1 - прямые, AB =A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 (рис. 8).
Так как < C = < C 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник A 1 B 1 C 1 так, что вершина C совместится с вершиной C 1 , а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C 1 A 1 и C 1 B 1 , поскольку CB = C 1 B 1 , то вершина B совместится с вершиной B 1 . Но тогда вершины A и A 1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A 2 луча C 1 A 1 , то получим равнобедренный треугольник A 1 B 1 A 2 , в котором углы при основании A 1 A 2 не равны (на рисунке < A 2 - острый, а < A 1 - тупой как смежный с острым углом B 1 A 1 C 1). Но это невозможно, поэтому вершины A и A 1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A 1 B 1 C 1 , то есть они равны.
Что и требовалось доказать.
Теорема Пифагора
Значение её состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то: а) наклонные равны, если равны их проекции; б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.
Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.
Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора, которая является важнейшей теоремой геометрии.
Если дан нам треугольник,
И при том с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путем
К результату мы придем.
ТЕОРЕМА. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и c (рис. 9 а).
Докажем, что c 2 = a 2 + b 2 . Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b, так как показано на рисунке (рис. 9 б).
Площадь такого квадрата со стороной a + b равна (a + b) 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь которых равна ab, и квадрат со стороной с, поэтому
Таким образом, (a + b) 2 =2ab + c 2 , откуда c 2 = a 2 + b 2 .
Что и требовалось доказать.
СЛЕДСТВИЕ 1 . В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2 . Так как ВС 2 >0, то АС 2 <АВ, То есть АС<АВ.
СЛЕДСТВИЕ 2. Для любого острого угла б cosб <1.
ДОКЗАТЕЛЬСВО. По определению косинуса cosб = . Но в следствии 1 было доказано, что АС<АВ, значит, дробь меньше 1.
Прямоугольные треугольники, у которых стороны выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.
Можно доказать, что катеты a, b и гипотенуза c таких треугольников выражаются формулами a=2kmn; b=k(m 2 -n 2); c=k(m 2 +n 2), где k, m и n - натуральные числа, такие, что m>n. Треугольники, со сторонами, длины которых равны 3, 4, 5 называются египетскими треугольниками, т. к. они были известны ещё древним египтянам.
Обратная к теореме Пифагора.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный (признак прямоугольного треугольника).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть в треугольнике ABC AB 2 = AC 2 + BC 2 . Докажем, что угол C - прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник A 1 B 1 C 1 с прямым углом C 1 , у которого A 1 C 1 = AC и B 1 C 1 = BC. По теореме Пифагора A 1 B 1 2 =A 1 C 1 2 +B 1 C 1 2 , и значит, A 1 B 1 2 = AC 2 +BC 2 . Но AC 2 + BC 2 = AB 2 по условию теоремы. Следовательно, A 1 B 1 2 = AB 2 , откуда A 1 B 1 = AB. Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трём сторонам, поэтому < C = < C 1 , то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.
Что и требовалось доказать.