Рис.91
Рис.90
Рис.89
Гироскопы. Свободный гироскоп.
Изучение данных вопросов необходимо в дисциплине «Детали машин».
Гироскоп - это массивное аксиально-симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии.
В этом случае моменты всех внешних сил, включая и силу тяжести, относительно центра масс гироскопа равны нулю. Это можно реализовать, например, поместив гироскоп в карданов подвес, изображенный на рис.89.
и момент импульса сохраняется:
Гироскоп ведет себя так же, как и свободнее тело вращения. В зависимости от начальных условий возможны два варианта поведения гироскопа:
1. Если гироскоп раскручен вокруг оси симметрии, то направления момента импульса и угловой скорости совпадают:
и направление оси симметрии гироскопа остается неизменным. В этом можно убедиться, поворачивая подставку, на которой расположен карданов подвес - при произвольных поворотах подставки ось гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве. По этой же причине волчок, "запущенный" на листе картона и подброшенный вверх (рис.90), сохраняет направление своей оси во время полета, и, падая острием на картон, продолжает устойчиво вращаться, пока не израсходуется запас его кинетической энергии.
Свободный гироскоп, раскрученный вокруг оси симметрии, обладает весьма значительной устойчивостью. Из основного уравнения моментов следует, что изменение момента импульса
Если интервал времени мал, то и мало, то есть при кратковременных воздействиях даже очень больших сил движение гироскопа изменяется незначительно. Гироскоп как бы сопротивляется попыткам изменить его момент импульса и кажется "затвердевшим".
Возьмем гироскоп конусообразной формы, опирающийся на стержень подставки в своем центре масс О (рис. 91). Если тело гироскопа не вращается, то оно находится в состоянии безразличного равновесия, и малейший толчок сдвигает его с места. Если же это тело привести в быстрое вращение вокруг своей оси, то даже сильные удары деревянным молотком не смогут сколько-нибудь значительно изменить направление оси гироскопа в пространстве. Устойчивость свободного гироскопа используется в различных технических устройствах, например, в автопилоте.
2. Если свободный гироскоп раскручен так, что вектор мгновенной угловой скорости и ось симметрии гироскопа не совпадают (как правило, это несовпадение при быстром вращении бывает незначительным), то наблюдается движение, описанное как "свободная регулярная прецессия". Применительно же к гироскопу его называют нутацией. При этом ось симметрии гироскопа, векторы и лежат в одной плоскости, которая вращается вокруг направления с угловой скоростью, равной где - момент инерции гироскопа относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии. Эта угловая скорость (назовем ее скоростью нутации) при быстром собственном вращении гироскопа оказывается достаточно большой, и нутация воспринимается глазом как мелкое дрожание оси симметрии гироскопа.
Нутационное движение легко продемонстрировать с помощью гироскопа, показанного на рис. 91 - оно возникает при ударах молотком по стержню вращающегося вокруг своей оси гироскопа. При этом чем сильнее раскручен гироскоп, тем больше его момент импульса - тем больше скорость нутации и тем "мельче" дрожания оси фигуры. Этот опыт демонстрирует еще одну характерную особенность нутации - с течением времени она постепенно уменьшается и исчезает. Это - следствие неизбежного трения в опоре гироскопа.
Наша Земля - своего рода гироскоп, и ей тоже свойственно нутационное движение. Это связано с тем, что Земля несколько приплюснута с полюсов, в силу чего моменты инерции относительно оси симметрии и относительно оси, лежащей в экваториальной плоскости различаются. При этом а . В системе отсчета, связанной с Землей, ось вращения движется по поверхности конуса вокруг оси симметрии Земли с угловой скоростью , то есть она совершает один оборот примерно за 300 дней. На самом деле в силу, как предполагается, неабсолютной жесткости Земли, это время оказывается больше - оно составляет около 440 суток. При этом расстояние точки земной поверхности, через которую проходит ось вращении, от точки, через которую проходит ось симметрии (Северный полюс), равно всего нескольким метрам. Нутационное движение Земли не затухает - по-видимому, его поддерживают сезонные изменения, происходящие на поверхности
Рассмотрим теперь ситуацию, когда к оси гироскопа приложена сила, линия действия которой не проходит через точку закрепления. Опыты показывают, что в этом случае гироскоп ведет себя весьма необычным образом.
Если к оси шарнирно закрепленного в точке О гироскопа (рис. 92) прикрепить пружину и тянуть за нее вверх с силой , то ось гироскопа будет перемещаться не в направлении силы, а перпендикулярно к ней, вбок. Это движение называется прецессией гироскопа под действием внешней силы.
Рассмотрим ситуацию, когда к оси гироскопа приложена сила, линия действия которой не проходит через точку закрепления О.
Прецессия гироскопа - такой тип движения, когда в результате постоянного действия момента внешней силы ось свободного гироскопа вращается вокруг направления данной внешней силы.
Известно, что прецессия обеспечивает устойчивость движения. Пример прецессии - движение оси детской игрушки - юлы с заостренным
Рис. 6.5.
концом (рис. 6.5), т.е. гироскопа, имеющего одну точку опоры. Юла, раскрученная вокруг своей оси и поставленная на горизонтальную плоскость слегка наклонно, начинает прецессировать вокруг вертикальной оси под действием момента пары сил тяжести и нормальной реакции опоры: М = / х mg , где / = ОС. Конец оси гироскопа будет двигаться в направлении вектора м , который лежит в горизонтальной плоскости и направлен перпендикулярно оси юлы.
Скорость, с которой ось вращения гироскопа движется относительно вертикальной оси, называется угловой скоростью прецессии Q.
Можно доказать, что для вращающегося волчка угловая скорость прецессии не зависит от угла наклона волчка 0; она обратно пропорциональна моменту импульса волчка:
Чем быстрее вращается волчок, тем больше момент импульса и тем медленнее он прецессирует. Причем мгновенное исчезновение момента силы, например тяжести, приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, т.е. прецессионное движение является безынерционным.
Если рассматривать качение наклонного диска, то на него будет действовать опрокидывающий момент сил тяжести и реакции опоры. Легкий диск упадет значительно быстрее, чем массивный, из-за малого значения момента импульса (скорость прецессии больше).
Рис. 6.6.
Рассмотрим случай, когда прецессия гироскопа, который движется под действием силы тяжести, сопровождается нутациями - колебаниями оси собственного вращения гироскопа вокруг вектора полного момента импульса. На рис. 6.6 показано, как в результате наложения нутаций на прецессионное движение вершина гироскопа описывает сложную траекторию с переменным углом нутации 0. Ось конуса нутации совпадает по направлению с вектором L и движется вместе с ним. Вершина конуса нутации, как и вершина конуса прецессии, находится в неподвижной точке О - точке закрепления гироскопа.
Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутации и тем меньше ее амплитуда и период. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза. Отметим, что из- за трения нутационные колебания быстро затухают и затем гироскоп совершает только прецессионное движение, когда угол 0 между векторами L ий остается постоянным. Если во время движения гироскопа нутация отсутствует и величины угловой скорости прецессии Q и угловой скорости вращения вокруг собственной оси ш постоянны, то такое движение называется регулярной прецессией (равномерной).
Впервые доказательства вращения Земли вокруг своей оси с запада на восток были получены французским физиком Ж.-Б.-Л. Фуко с помощью маятника Фуко (1851) и в экспериментах с гироскопом на кардано- вом подвесе (1852). Первый в Беларуси маятник Фуко был установлен в Белорусском государственном педагогическом университете им. Максима Танка (сентябрь 2004 г., Минск).
Свойствами гироскопов обладают вращающиеся небесные тела, винты самолетов и т.д. Области практического применения гироскопов динамично расширяются. Например, гироскопические устройства и приборы применяются в медицине, в ракетной и космической технике, для целей навигации (указатели стран света, горизонта и др.), при проведении топографических и геодезических работ, строительстве метрополитенов.
Гироскопом называется массивное осесимметричное тело (симметричный волчок), быстро вращающееся вокруг оси симметрии, причем ось вращения может изменять положение в пространстве. Ось симметрии называется осью фигуры гироскопа.
Видео 7.6. Что же такое гироскоп?
Рис. 7.17. Движение системы гироскопов
Ось симметрии является одной из главных осей гироскопа. Поэтому его момент импульса совпадает по направлению с осью вращения.
Для того, чтобы изменить положение в пространстве положение оси фигуры гироскопа, необходимо подействовать на него моментом внешних сил.
Видео 7.7. Гироскопические силы:большой гироскоп рвет веревку
При этом наблюдается явление, получившее название гироскопического : под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси 1 вокруг оси 2 (рис. 7.19), наблюдается поворот оси фигуры вокруг оси 3.
Рис. 7.19. Движение оси фигуры гироскопа под действием момента внешних сил
Видео 7.8. Гироскоп с перегрузами: направление и скорость прецессии, нутации
Гироскопические явления проявляются всюду, где имеются быстро вращающиеся тела, ось которых может поворачиваться в пространстве.
Рис. 7.20. Реакция гироскопа на внешнее воздействие
Странное на первый взгляд поведение гироскопа, рис. 7.19 и 7.20, полностью объясняется уравнением динамики вращательного движения твердого тела
Видео 7.9. «Любвеобильный» гироскоп: ось гироскопа бежит вдоль направляющей, не покидая её
Видео 7.10. Действие момента силы трения: «Колумбово» яйцо
Если гироскоп привести в быстрое вращение, он будет обладать значительным моментом импульса. Если на гироскоп будет действовать внешняя сила в течение времени , то приращение момента импульса будет
Если сила действует в течение короткого времени , то
Другими словами, при коротких воздействиях (толчках) момент импульса гироскопа практически не меняется. С этим связана замечательная устойчивость гироскопа по отношению к внешним воздействиям, которая используется в различных приборах, таких как гирокомпасы, гиростабилизированные платформы и т. д.
Видео 7.11. Модель гирокомпаса, гиростабилизация
Видео 7.12. Большой гирокомпас
7.21. Гиростабилизатор орбитальной станции
В гироскопах, применяющихся в авиации и космонавтике, используется карданов подвес, который позволяет сохранять направление оси вращения гироскопа независимо от ориентации самого подвеса:
Видео 7.13. Гироскопы в цирке: езда на одном колесе по проволоке
http://www.plib.ru/library/book/14978.html Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 245–249 (§ 47): кинематическая теорема Эйлера о вращениях твердого тела вокруг неподвижной точки.
Рассмотрим движение гироскопа с неподвижной точкой опоры, как показано на на рис. 7.22.
Движение гироскопа под действием внешней силы называется вынужденной прецессией .
Рис. 7.22. Вынужденная прецессия гироскопа: 1 - общий вид; 2 - вид сверху
Приложим в точке А силу . Если гироскоп не вращается, то, естественно, правый маховик будет опускаться, а левый - подниматься. Другая ситуация будет, если предварительно гироскоп привести в быстрое вращение. В этом случае под действием силы ось гироскопа будет вращаться с угловой скоростью вокруг вертикальной оси. То есть ось гироскопа приобретает скорость в направлении, перпендикулярном направлению действующей силы.
Таким образом, прецессия гироскопа представляет собой движение под действием внешних сил, происходящее таким образом, что ось фигуры описывает коническую поверхность.
Рис. 7.23. К выводу формулы прецессии гироскопа.
Объяснение этого явления заключается в следующем. Момент силы относительно точки 0 будет
Приращение момента импульса гироскопа за время равно
Это приращение перпендикулярно моменту импульса и, следовательно, меняет его направление, но не величину.
Вектор момента импульса ведет себя подобно вектору скорости при движении частицы по окружности. В последнем случае приращения скорости перпендикулярно скорости частицы и равно по модулю
В случае гироскопа элементарное приращение момента импульса
и равно по модулю
За время вектор момента импульса повернется на угол
Угловая скорость вращения плоскости, проходящей через ось конуса, описываемого осью фигуры, и ось фигуры, называется угловой скоростью прецессии гироскопа.
Возникающие при определенных условиях колебания оси фигуры гироскопа в плоскости, проходящей через ось указанного выше конуса и саму ось фигуры, называются нутациями . Нутации могут быть вызваны, например, коротким толчком оси фигуры гироскопа вверх или вниз (см. рис. 7.24):
Рис. 7.24. Нутации гироскопа
Угловая скорость прецессии в рассматриваемом случае равна
Отметим важное свойство гироскопа - его безынерционность, заключающееся в том, что после прекращения действия внешней силы вращение оси фигуры прекращается.
Дополнительная информация
http://www.plib.ru/library/book/14978.html Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 288–293 (§ 52): изложены основы точной теории гироскопа.
http://femto.com.ua/articles/part_1/0796.html - физическая энциклопедия. Описаны разнообразные механические гироскопы, которые используются для навигации - гирокомпасы.
http://femto.com.ua/articles/part_1/1901.html - физическая энциклопедия. Описан лазерный гироскоп для целей космической навигации.
Влияние гироскопических сил в технике иллюстрируется следующими рисунками.
Рис. 7.25. Гироскопические силы,действующие на самолет при вращении винта
Рис. 7.26. Перевертывание волчка под действием гироскопических сил
Рис. 7.27. Как поставить яйцо «на попа»
Дополнительная информация
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/10/mehanika_vrashchayushchegosya.htm - журнал «Квант» - механика волчка (С. Кривошлыков).
http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9809_096.pdf - Соросовский образовательный журнал, 1998 г., № 9, - в статье обсуждаются проблемы динамики вращающихся тел (кельтских камней), соприкасающихся с твердой поверхностью (А.П. Маркеев).
http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_35.djvu - Михайлов А.А. Земля и ее вращение, Библиотечка Квант, выпуск 35 стр. 50–56 - планета Земля - большой волчок, ее ось прецессирует в пространстве.
Приложение
О принципе работы колеса
Раз уж мы много говорили в этой главе о вращении тел, остановимся на самом великом и важном открытии человечества - изобретении колеса. Всем известно, что волочить груз гораздо труднее, чем перевозить его на колесах. Встает вопрос, почему? Колесо, играющее огромную роль в современной технике, по праву считается одним из гениальнейших изобретений человечества.
Передвижение груза с помощью катка . Прототипом колеса был каток, подкладываемый под груз. Его первые применения теряются во мгле веков. Прежде чем разбираться с колесом, поймем принцип действия катка. Для этого рассмотрим пример.
Пример . Груз массой M положен на цилиндрический каток массой и радиусом , который может двигаться по плоскому горизонтальному настилу. К грузу приложена горизонтальная сила (рис. 7.28). Найдем ускорения груза и катка. Силой трения качения пренебречь. Считать, что движение системы происходит без проскальзывания.
Рис. 7.28. Передвижение груза с помощью катка
Обозначим силу трения между катком и грузом и - между катком и настилом. За положительное направление примем направление внешней силы . Тогда положительным значениям и соответствуют направления сил трения, показанные на рис. 7.28.
Таким образом, на груз действуют силы и , а на каток - силы и . Обозначим a ускорение груза и a 1 - ускорение катка. Кроме того, каток вращается по часовой стрелке с угловым ускорением .
Уравнения поступательного движения принимают вид:
Уравнение вращательного движения катка записывается так:
Обратимся теперь к условиям отсутствия проскальзывания. Из-за вращения катка его нижняя точка имеет линейное ускорение и, кроме того, участвует в поступательном движении с ускорением . В отсутствие проскальзывания между катком и настилом полное ускорение нижней точки катка должно быть равно нулю, так что
Верхняя точка катка приобретает из-за вращения противоположно направленное линейное ускорение и то же ускорение поступательного движения. Чтобы не было проскальзывания между катком и грузом, полное ускорение верхней точки должно быть равно ускорению груза:
Из полученных уравнений для ускорений следует, что ускорение катка в два раза меньше ускорения груза:
и, соответственно,
Из непосредственного опыта каждый знает, что каток действительно отстает от груза.
Подставляя соотношения для ускорений в уравнения движения и решая их относительно неизвестных , , , получаем следующие выражение для ускорения груза
Обе силы трения и оказываются при этом положительными, так что на рис. 12 их направления выбраны правильно:
Как видно, радиус катка особой роли не играет: отношение зависит только от его формы. При данных массе и радиусе момент инерции катка максимален, когда каток представляет собой трубу: . В этом случае сила трения между катком и настилом отсутствует ( = 0) а уравнения для ускорения груза и силы трения между грузом и катком принимают вид:
При уменьшении массы катка сила трения уменьшается, ускорение груза увеличивается - груз легче перемещать.
В случае катка-цилиндра (бревна) /2 и мы находим силы трения
и ускорение груза.
Сравнивая с результатами для катка-трубы, видим, что эффективно масса катка как бы уменьшилась: ускорение груза возрастает при прочих равных условиях.
Главный итог рассмотренного примера: ускорение отлично от нуля (то есть груз начинает двигаться) при сколь угодно малой внешней силе. При волочении же груза по настилу для его смещения необходимо приложить как минимум силу .
Второй вывод: ускорение вовсе не зависит от величины трения между частями данной системы. Коэффициент трения не вошел в найденные решения, он появится только в условиях отсутствия проскальзывания, которые сводятся к тому, что приложенная сила не должна быть слишком велика.
Полученный результат, что каток как бы полностью «уничтожает» силу трения, не удивителен. Действительно, в отсутствие относительного перемещения соприкасающихся поверхностей силы трения не совершают работы. На самом деле каток «заменяет» трение скольжения на трение качения, которым мы пренебрегли. В реальном случае минимальная сила, необходимая для движения системы, отлична от нуля, хотя и гораздо меньше, чем при волочении груза по настилу. В современной технике принцип действия катка реализуется в шарикоподшипниках.
Качественное рассмотрение работы колеса . Разобравшись с катком, перейдем к колесу. Первое колесо в виде деревянного диска, насаженного на ось, появилось, по-видимому, в IV тысячелетии до н.э. в цивилизациях Древнего Востока. Во II тыс. до н.э. конструкция колеса совершенствуется: появляются спицы, ступица и гнутый обод. Изобретение колеса дало гигантский толчок развитию ремесел и транспорта. Однако многие не понимают самого принципа действия колеса. В ряде учебников и энциклопедий можно найти неверное утверждение, что колесо, подобно катку, также дает выигрыш, заменяя силу трения скольжения на силу трения качения. Иногда приходится слышать ссылки на использование смазки или подшипников, но дело не в этом, поскольку колесо с очевидностью появилось раньше, чем додумались до смазки (и, тем более, подшипников).
Действие колеса проще всего понять, исходя из энергетических соображений. Древние повозки устроены просто: кузов прикрепляется к деревянной оси радиусом (общая масса кузова с осью равна M ). На ось насаживаются колеса массой и радиусом R (рис. 7.29).
Рис. 7.29. Передвижение движение груза с помощью колеса
Предположим, что такую повозку везут по деревянному же настилу (тогда во всех соприкасающихся местах имеем тот же коэффициент трения ). Сначала заклиним колеса и, действуя силой , протащим повозку на расстояние s . Поскольку повозка скользит по настилу, сила трения достигает своего максимально возможного значения
Работа против этой силы равна
(так как обычно масса колес много меньше массы повозки <<M ).
Освободим теперь колеса и снова протащим повозку на то же расстояние s . Если колеса не скользят по настилу, то в нижней точке колеса сила трения не совершает работы. Но трение скольжения возникает между осью и колесом в нижней части оси радиусом . Там тоже имеется сила нормального давления. Она будет несколько отличаться от прежней за счет веса колес и других причин, которые мы обсудим ниже, но при небольшой массе колес и небольшом коэффициенте трения можно считать ее примерно равной . Поэтому между осью и колесом действует та же самая сила трения
Подчеркнем еще раз: колесо само по себе не уменьшает силу трения. Но работа A" против этой силы будет теперь гораздо меньше, чем в случае волочения повозки с заклиненными колесами. Действительно, когда повозка проходит расстояние S , ее колеса совершают оборотов. Значит, трущиеся об ось колеса поверхности сдвинутся друг относительно друга на меньшее расстояние . Поэтому работа против сил трения также будет в соответствующее число раз меньше:
Таким образом, надев колеса на оси, мы уменьшаем не силу трения, как в случае с катком, а путь, на котором она действует. Скажем, колесо радиусом R = 0,5 м и осью радиусом = 2 см уменьшает работу на 96 %. С остальными 4 % успешно справляются смазка и подшипники, уменьшающие само трение (смазка, кроме того, предотвращает износ ходовой части повозки). Теперь понятно, почему в старых экипажах и боевых колесницах делали такие большие колеса. Современные продуктовые коляски в супермаркетах могут катиться лишь благодаря подшипникам.
Цель работы: изучение особенностей движения гироскопа под действием момента внешних сил, измерение угловой скорости прецессии и момента импульса гироскопа
Гироскопом называется симметричное твердое тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии, которая может изменять свое направление в пространстве.
Для демонстрационных целей обычно пользуются гироскопами конструкции, которая схематически изображена на рис. 6.1. Колесо гироскопа К (ротор) насажено на ось, которая может поворачиваться как вокруг горизонтальной оси, так и вокруг вертикальной оси, т.е. может принимать любое положение в пространстве. (Отклонения оси по вертикали в этой конструкции ограничены не очень большими углами). Для того, чтобы момент сил тяжести относительно трёх осей гироскопа был равен нулю, центр тяжести гироскопа должен совпадать с точкой пересечения трёх осей вращения. Ротор гироскопа приводится в быстрое вращение при помощи электромотора.
Рис. 6.1. Схема опыта
Так как момент силы тяжести относительно точки О равен нулю, то ось вращающегося гироскопа в отсутствие каких-либо других внешних сил остаётся неподвижной. Гироскоп обладает постоянным моментом импульса, направленным вдоль неподвижной оси вращения гироскопа. Если на гироскоп начинают действовать внешние силы, то ось гироскопа начинает двигаться – появляется вращение вокруг других осей. Тогда уже не совпадает с осью гироскопа, но всегда остаётся близким к ней. Поэтому, зная, как изменяется вектор, мы сможем сказать, как приблизительно движется ось гироскопа.
Вращение твёрдого тела определяется уравнением
Здесь – момент внешних сил,=I , где I – момент инерции гироскопа, а – его угловая скорость. Из уравнения (6.1) видно, что векторизменяется только тогда, когда действует момент. Следовательно, ось гироскопа может заметно перемещаться только до тех пор, пока действует момент, изменяющий направление. Изменения жеза короткие промежутки временисогласно уравнению (6.1) определяются соотношением
При кратковременном действии внешних сил (резкий удар) мало, поэтому и?мало –почти не изменяется. Следовательно, очень мало должно изменяться и направление оси гироскопа. Действительно, при резком ударе ось гироскопа не уходит далеко, а дрожит, оставаясь почти на месте. после удара перестаёт изменяться. Но ось гироскопа не должна совпадать с направлением, а должна быть лишь близка к нему. Она может совершать малые движения около направления. Такие движения оси гироскопа около направленияносят название нутаций . Дрожание оси гироскопа после удара и представляет собой один из видов нутаций.
Если гироскоп вращается вокруг своей оси с очень большой скоростью, то и при наличии небыстрых вращений вокруг других осей вектор момента импульса практически совпадает с осью гироскопа. В дальнейшем мы будем считать, что направление совпадает с осью гироскопа.
При длительном воздействии внешних сил вектор будет изменять своё направление в пространстве. Вместе с ним будет изменять своё направление и ось гироскопа. Направление? совпадает с направлением, т.е. не с направлением силы, а с направлением момента силы относительно оси О. Если сбоку надавить на гироскоп с некоторой силой(рис. 6.1), то ось его будет двигаться не в направлении силы, а в направлении момента силы.
Если на гироскоп действует сила, создающая постоянный момент , то направление будет изменяться за одинаковые промежутки времени на одинаковую величину?= ?t . Если при этомвсё время лежит в плоскости движения оси гироскопа, то? лежит в той же плоскости; векторбудет оставаться в этой же плоскости и вращаться с постоянной скоростью. Вместе с ним будет вращаться и ось гироскопа. Такое движение оси носит название прецессии.
Прецессию гироскопа можно продемонстрировать, повесив на ось гироскопа небольшой груз массой m (рис. 6.1) на расстоянии r . Сила тяжестибудет создавать момент, всё время лежащий в горизонтальной плоскости. В присутствии груза ось гироскопа вращается в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью.
Вычислим угловую скорость вращения оси гироскопа.
За время?t ось гироскопа поворачивается на угол
Учитывая соотношение (6.2), для угловой скорости вращения оси (скорости прецессии) получим
Так как, а, соотношение (6.3) перепишем в виде
Из полученного выражения следует, что чем меньше момент внешних сил, действующих на гироскоп, и чем больше момент импульса гироскопа, тем меньше скорость его прецессии.
Если подталкивать прецессирующий гироскоп в направлении прецессии, то конец оси, на котором висит груз, будет подниматься. Наоборот, если давить на гироскоп против направления прецессии, то конец оси с грузом будет опускаться. Внешние силы, препятствующие прецессии, приводят к тому, что груз опускается. При прецессии на вертикальную ось действуют силы трения в подшипнике, препятствующие прецессии, поэтому ось прецессирующего гироскопа не остаётся в горизонтальной плоскости – конец оси, на котором висит груз, постепенно опускается.
Прецессия гироскопа происходит с постоянной скоростью, пока действует внешний момент, и прекращается сразу же, как только исчезает внешний момент. Движение оси гироскопа не обладает инерцией. Это связано с тем, что скорость вращения оси определяется действующими силами. Инерция же есть проявление того, что ускорения определяются силами.
Во всех описанных опытах не только внешние силы действуют на гироскоп, но и гироскоп действует на те тела, которые являются источником этих сил. Когда мы надавливаем рукой на ось гироскопа, то гироскоп с такой же силой давит на руку. Если гироскоп жёстко связан с некоторым телом, то при всяком движении этого тела, сопровождающемся изменением направления оси гироскопа, возникают силы, действующие на тело со стороны гироскопа. Эти силы часто играют заметную роль.
Например, вращающиеся части машин корабля представляют собой гироскоп, обладающий большим моментом импульса. При килевой качке корабля (когда нос корабля поднимается и опускается) изменяется направление момента импульса машины. Вследствие этого возникают силы давления со стороны вала на подшипники. Эти силы лежат в горизонтальной плоскости и поворачивают корабль вокруг вертикальной оси. Это «ориентирование по курсу» заметно у малых судов с мощными машинами (буксиры).
Силы, возникающие при изменении направления оси вращения гироскопа, могут быть использованы для придания устойчивости судну (уменьшения качки). Для этой цели применяются огромные гироскопы с большой скоростью.
Все описанные свойства гироскопа объясняются тем, что движение оси гироскопа подчиняется уравнению (6.1). Движение оси гироскопа определяется не направлением силы, а направлением момента внешних сил. Но этот момент определяется силами, действующими извне на весь прибор в целом, только тогда, когда гироскоп вполне свободен, т.е. когда конструкция прибора допускает любое положение оси гироскопа. Если же гироскоп не вполне свободен, то нужно принимать во внимание и моменты тех сил, которые могут действовать на ось гироскопа со стороны подшипников, в которых он закреплён.
Эти моменты сил могут совершенно изменить поведение гироскопа под действием внешних сил. Например, если закрепить вертикальную ось и сделать возможным вращение оси гироскопа только в горизонтальной плоскости, то он становится совершенно «послушным». Под действием силы, приложенной к гироскопу в горизонтальной плоскости, ось гироскопа начинает вращаться в направлении действия силы. Это изменение в поведении гироскопа объясняется тем, что наряду с моментом силына ось действует момент сил и со стороны подставки, в которой он закреплён. Возникновение этого момента легко объяснить. Вначале, пока на гироскоп не действует сила, на него не действуют моменты и со стороны подставки. Гироскоп « не знает», что он закреплён. Поэтому сначала он ведёт себя как вполне свободный гироскоп: под действием силы, создающей момент, направленный вертикально вверх, конец оси гироскопа начинает подниматься.
Вертикальная ось, с которой жёстко связана ось гироскопа, немного изгибается, и возникает момент упругих сил, действующих на ось гироскопа. Под действием этого момента ось гироскопа будет перемещаться в горизонтальной плоскости как раз в том направлении, в котором действует сила. Поэтому несвободный гироскоп является «послушным»: его ось поворачивается туда, куда её стремится повернуть внешняя сила . У свободного же гироскопа ось поворачивается в плоскости, перпендикулярной силе.
Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил, стремящихся повернуть его около оси, перпендикулярной к оси вращения, то гироскоп действительно будет поворачиваться, но только вокруг третьей оси, перпендикулярной к первым двум.
Более детальный анализ явлений, аналогичных описанным выше, показывает, что гироскоп стремится расположить ось своего вращения таким образом, чтобы она образовала возможно меньший угол с осью вынуждаемого вращения и чтобы оба вращения совершались в одном и том же направлении.
Это свойство гироскопа используется в гироскопическом компасе, получившем широкое распространение, в особенности в военном флоте. Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся волчок (мотор трёхфазного тока, делающий 25 000 об./мин), который на особом поплавке плавает в сосуде со ртутью и ось которого устанавливается в плоскости меридиана. В данном случае источником внешнего вращающего момента является суточное вращение Земли вокруг её оси. Под его действием ось вращения гироскопа стремится совпасть по направлению с осью вращения Земли, а так как вращение Земли действует на гироскоп непрерывно, то ось гироскопа принимает это положение, т.е. устанавливается вдоль меридиана и продолжает в нем оставаться совершенно так же, как обычная магнитная стрелка. Гироскопические компасы обладают по сравнению с магнитным рядом преимуществ. На их показания не влияют находящиеся поблизости массы железа, они не чувствительны к магнитным бурям и т.д.
Гироскопы часто применяют в качестве стабилизаторов. Их устанавливают для уменьшения качки на океанских пароходах. Были сконструированы также стабилизаторы для однорельсовых железных дорог; массивный быстро вращающийся гироскоп, помещаемый внутри вагона однорельсовой дороги, препятствует опрокидыванию вагона. Роторы для гироскопических стабилизаторов изготовляют от 1 до 100 и более тонн.