I. Множество представляет собой совокупность некоторых предметов или чисел, составленных по каким-либо общим свойствам или законам (множество букв на странице, множество правильных дробей со знаменателем 5 , множество звезд на небе и т.д.).

Для записи множества используют фигурные скобки: «{ »- множество открывается; "}" — множество закрывается. А само множество называют заглавными латинскими буквами: А, В, С и так далее.

Примеры.

1 . Записать множество А , состоящее из всех гласных букв в слове «математика» .

Решение. А={а, е, и}. Вы видите: несмотря на то,что в слове «математика» имеется три буквы «а» — в записи множества повторений не допускается, и буква «а» записывается только один раз. Множество А состоит из трех элементов.

2. Записать множество всех правильных дробей со знаменателем 5 .

Решение. Вспоминаем: правильной называют обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Обозначим через В искомое множество. Тогда:

Множество В состоит из четырех элементов.

II. Множества состоят из элементов и бывают конечными или бесконечными. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают Ø.

III. Множество В называют подмножеством множества А , если все элементы множества В являются элементами множества А.

3. Какое из двух данных множеств В и С К ,

если В ={-1; 3; 4}, C ={0; 3; 4; 5), K ={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Решение. Все элементы множества С являются также элементами множества К , поэтому, множество С является подмножеством множества К. Записывают:

IV. Пересечением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В .

4. Показать пересечение двух множеств М и F с помощью кругов Эйлера.

Решение.

Множества. Операции над множествами.
Отображение множеств. Мощность множества

Приветствую вас на первом уроке по высшей алгебре, который появился… в канун пятилетия сайта, после того, как я уже создал более 150 статей по математике, и мои материалы начали оформляться в завершённый курс. Впрочем, буду надеяться, что не опоздал – ведь многие студенты начинают вникать в лекции только к государственным экзаменам =)

Вузовский курс вышмата традиционно зиждется на трёх китах:

– математическом анализе (пределы , производные и т.д.)

– и, наконец, сезон 2015/16 учебного года открывается уроками Алгебра для чайников , Элементы математической логики , на которых мы разберём основы раздела, а также познакомимся с базовыми математическими понятиями и распространёнными обозначениями. Надо сказать, что в других статьях я не злоупотребляю «закорючками» , однако то лишь стиль, и, конечно же, их нужно узнавать в любом состоянии =). Вновь прибывшим читателям сообщаю, что мои уроки ориентированы на практику, и нижеследующий материал будет представлен именно в этом ключе. За более полной и академичной информацией, пожалуйста, обращайтесь к учебной литературе. Поехали:

Множество. Примеры множеств

Множество – это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира. Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента.

В широком смысле, множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т.д.

Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами (как вариант, с подстрочными индексами: и т.п.) , а его элементы записываются в фигурных скобках, например:

– множество букв русского алфавита;
– множество натуральных чисел;

ну что же, пришла пора немного познакомиться:
– множество студентов в 1-м ряду

… я рад видеть ваши серьёзные и сосредоточенные лица =)

Множества и являются конечными (состоящими из конечного числа элементов), а множество – это пример бесконечного множества. Кроме того, в теории и на практике рассматривается так называемое пустое множество :

– множество, в котором нет ни одного элемента.

Пример вам хорошо известен – множество на экзамене частенько бывает пусто =)

Принадлежность элемента множеству записывается значком , например:

– буква «бэ» принадлежит множеству букв русского алфавита;
– буква «бета» не принадлежит множеству букв русского алфавита;
– число 5 принадлежит множеству натуральных чисел;
– а вот число 5,5 – уже нет;
– Вольдемар не сидит в первом ряду (и тем более, не принадлежит множеству или =)).

В абстрактной и не очень алгебре элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами и, соответственно, факт принадлежности оформляется в следующем стиле:

– элемент принадлежит множеству .

Вышеприведённые множества записаны прямым перечислением элементов, но это не единственный способ. Многие множества удобно определять с помощью некоторого признака (ов) , который присущ всем его элементам . Например:

– множество всех натуральных чисел, меньших ста.

Запомните : длинная вертикальная палка выражает словесный оборот «которые», «таких, что». Довольно часто вместо неё используется двоеточие: – давайте прочитаем запись более формально: «множество элементов , принадлежащих множеству натуральных чисел, таких, что » . Молодцы!

Данное множество можно записать и прямым перечислением:

Ещё примеры:
– и если и студентов в 1-м ряду достаточно много, то такая запись намного удобнее, нежели их прямое перечисление.

– множество чисел, принадлежащих отрезку . Обратите внимание, что здесь подразумевается множество действительных чисел (о них позже) , которые перечислить через запятую уже невозможно.

Следует отметить, что элементы множества не обязаны быть «однородными» или логически взаимосвязанными. Возьмите большой пакет и начните наобум складывать в него различные предметы. В этом нет никакой закономерности, но, тем не менее, речь идёт о множестве предметов. Образно говоря, множество – это и есть обособленный «пакет», в котором «волею судьбы» оказалась некоторая совокупность объектов.

Подмножества

Практически всё понятно из самого названия: множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству . Иными словами, множество содержится во множестве :

Значок называют значком включения .

Вернёмся к примеру, в котором – это множество букв русского алфавита. Обозначим через – множество его гласных букв. Тогда:

Также можно выделить подмножество согласных букв и вообще – произвольное подмножество, состоящее из любого количества случайно (или неслучайно) взятых кириллических букв. В частности, любая буква кириллицы является подмножеством множества .

Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера .

Пусть – множество студентов в 1-м ряду, – множество студентов группы, – множество студентов университета. Тогда отношение включений можно изобразить следующим образом:

Множество студентов другого ВУЗа следует изобразить кругом, который не пересекает внешний круг; множество студентов страны – кругом, который содержит в себе оба этих круга, и т.д.

Типичный пример включений мы наблюдаем при рассмотрении числовых множеств. Повторим школьный материал, который важно держать на заметке и при изучении высшей математики:

Числовые множества

Как известно, исторически первыми появились натуральные числа, предназначенные для подсчёта материальных объектов (людей, кур, овец, монет и т.д.). Это множество уже встретилось в статье, единственное, мы сейчас чуть-чуть модифицируем его обозначение. Дело в том, что числовые множества принято обозначать жирными, стилизованными или утолщёнными буквами. Мне удобнее использовать жирный шрифт:

Иногда к множеству натуральных чисел относят ноль.

Если к множеству присоединить те же числа с противоположным знаком и ноль, то получится множество целых чисел :

Рационализаторы и лентяи записывают его элементы со значками «плюс минус» :))

Совершенно понятно, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел:
– поскольку каждый элемент множества принадлежит множеству . Таким образом, любое натуральное число можно смело назвать и целым числом.

Название множества тоже «говорящее»: целые числа – это значит, никаких дробей.

И, коль скоро, целые, то сразу же вспомним важные признаки их делимости на 2, 3, 4, 5 и 10, которые будут требоваться в практических вычислениях чуть ли не каждый день:

Целое число делится на 2 без остатка , если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. любой чётной цифрой) . Например, числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 – делятся на 2 без остатка.

И давайте тут же разберём «родственный» признак: целое число делится на 4 , если число, составленное из двух его последних цифр (в порядке их следования) делится на 4.

400 – делится на 4 (т.к. 00 (ноль) делится на 4) ;
-1502 – не делится на 4 (т.к. 02 (двойка) не делится на 4) ;
-24, понятно, делится на 4;
66996 – делится на 4 (т.к. 96 делится на 4) ;
818 – не делится на 4 (т.к. 18 не делится на 4) .

Самостоятельно проведите несложное обоснование данного факта.

С делимость на 3 чуть сложнее : целое число делится на 3 без остатка, если сумма входящих в него цифр делится на 3.

Проверим, делится ли на 3 число 27901. Для этого просуммируем его цифры:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – не делится на 3
Вывод: 27901 не делится на 3.

Просуммируем цифры числа -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – делится на 3
Вывод: число -825432 делится на 3

Целое число делится на 5 , если оно заканчивается пятёркой либо нулём:
775, -2390 – делятся на 5

Целое число делится на 10 , если оно заканчивается на ноль:
798400 – делится на 10 (и, очевидно, на 100) . Ну и, наверное, все помнят – для того, чтобы разделить на 10, нужно просто убрать один ноль: 79840

Также существуют признаки делимости на 6, 8, 9, 11 и т.д., но практического толку от них практически никакого =)

Следует отметить, что перечисленные признаки (казалось бы, такие простые) строго доказываются в теории чисел . Этот раздел алгебры вообще достаточно интересен, однако его теоремы… прямо современная китайская казнь =) А Вольдемару за последней партой и того хватило…, но ничего страшного, скоро мы займёмся живительными физическими упражнениями =)

Следующим числовым множеством идёт множество рациональных чисел :
– то есть, любое рациональное число представимо в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем .

Очевидно, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел:

И в самом деле – ведь любое целое число можно представить в виде рациональной дроби , например: и т.д. Таким образом, целое число можно совершенно законно назвать и рациональным числом.

Характерным «опознавательным» признаком рационального числа является то обстоятельство, что при делении числителя на знаменатель получается либо
– целое число,

либо
– конечная десятичная дробь,

либо
– бесконечная периодическая десятичная дробь (повтор может начаться не сразу) .

Полюбуйтесь делением и постарайтесь выполнять это действие как можно реже! В организационной статье Высшая математика для чайников и на других уроках я неоднократно повторял, повторяю, и буду повторять эту мантру:

В высшей математике все действия стремимся выполнять в обыкновенных (правильных и неправильных) дробях

Согласитесь, что иметь дело с дробью значительно удобнее, чем с десятичным числом 0,375 (не говоря уже о бесконечных дробях) .

Едем дальше. Помимо рациональных существует множество иррациональных чисел, каждое из которых представимо в виде бесконечной НЕпериодической десятичной дроби. Иными словами, в «бесконечных хвостах» иррациональных чисел нет никакой закономерности:
(«год рождения Льва Толстого» дважды)
и т.д.

О знаменитых константах «пи» и «е» информации предостаточно, поэтому на них я не останавливаюсь.

Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел :

– значок объединения множеств.

Геометрическая интерпретация множества вам хорошо знакома – это числовая прямая:


Каждому действительному числу соответствует определённая точка числовой прямой, и наоборот – каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число. По существу, сейчас я сформулировал свойство непрерывности действительных чисел, которое хоть и кажется очевидным, но строго доказывается в курсе математического анализа.

Числовую прямую также обозначают бесконечным интервалом , а запись или эквивалентная ей запись символизирует тот факт, что принадлежит множеству действительных чисел (или попросту «икс» – действительное число) .

С вложениями всё прозрачно: множество рациональных чисел – это подмножество множества действительных чисел:
, таким образом, любое рациональное число можно смело назвать и действительным числом.

Множество иррациональных чисел – это тоже подмножество действительных чисел:

При этом подмножества и не пересекаются – то есть ни одно иррациональное число невозможно представить в виде рациональной дроби.

Существуют ли какие-нибудь другие числовые системы? Существуют! Это, например, комплексные числа , с которыми я рекомендую ознакомиться буквально в ближайшие дни или даже часы.

Ну а пока мы переходим к изучению операций над множествами, дух которых уже материализовался в конце этого параграфа:

Действия над множествами. Диаграммы Венна

Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами. Опять же предупреждаю, что я рассмотрю не все операции:

1) Пересечение И и обозначается значком

Пересечением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств:

Так, например, для множеств :

Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств:

Множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами.

Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, в частности в Википедии есть хороший пример пересечения множеств букв трёх алфавитов .

2) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком

Объединением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству или множеству :

Запишем объединение множеств :
– грубо говоря, тут нужно перечислить все элементы множеств и , причём одинаковые элементы (в данном случае единица на пересечении множеств) следует указать один раз.

Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами:

В этом случае можно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга.

Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, например, если , то:

При этом числа вовсе не обязательно располагать в порядке возрастания (это я сделал исключительно из эстетических соображений) . Не мудрствуя лукаво, результат можно записать и так:

3) Разностью и не принадлежит множеству :

Разность читаются следующим образом: «а без бэ». И рассуждать можно точно так же: рассмотрим множества . Чтобы записать разность , нужно из множества «выбросить» все элементы, которые есть во множестве :

Пример с числовыми множествами:
– здесь из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных».

Зеркально: разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству :

Для тех же множеств
– из множества «выброшено» то, что есть во множестве .

А вот эта разность оказывается пуста: . И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется:)

Кроме того, иногда рассматривают симметрическую разность , которая объединяет оба «полумесяца»:
– иными словами, это «всё, кроме пересечения множеств».

4) Декартовым (прямым) произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , в которых элемент , а элемент

Запишем декартово произведение множеств :
– перечисление пар удобно осуществлять по следующему алгоритму: «сначала к 1-му элементу множества последовательно присоединяем каждый элемент множества , затем ко 2-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества , затем к 3-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества »:

Зеркально: декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , в которых . В нашем примере:
– здесь схема записи аналогична: сначала к «минус единице» последовательно присоединяем все элементы множества , затем к «дэ» – те же самые элементы:

Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке – здесь важно записать все возможные пары.

А теперь гвоздь программы: декартово произведение – это есть не что иное, как множество точек нашей родной декартовой системы координат .

Задание для самостоятельного закрепления материала:

Выполнить операции , если:

Множество удобно расписать перечислением его элементов.

И пунктик с промежутками действительных чисел:

Напоминаю, что квадратная скобка означает включение числа в промежуток, а круглая – его невключение , то есть «минус единица» принадлежит множеству , а «тройка» не принадлежит множеству . Постарайтесь разобраться, что представляет собой декартово произведение данных множеств. Если возникнут затруднения, выполните чертёж;)

Краткое решение задачи в конце урока.

Отображение множеств

Отображение множества во множество – это правило , по которому каждому элементу множества ставится в соответствие элемент (или элементы) множества . В том случае если в соответствие ставится единственный элемент, то данное правило называется однозначно определённой функцией или просто функцией .

Функцию, как многие знают, чаще всего обозначают буквой – она ставит в соответствие каждому элементу единственное значение , принадлежащее множеству .

Ну а сейчас я снова побеспокою множество студентов 1-го ряда и предложу им 6 тем для рефератов (множество ):

Установленное (добровольно или принудительно =)) правило ставит в соответствие каждому студенту множества единственную тему реферата множества .

…а вы, наверное, и представить себе не могли, что сыграете роль аргумента функции =) =)

Элементы множества образуют область определения функции (обозначается через ), а элементы множества – область значений функции (обозначается через ).

Построенное отображение множеств имеет очень важную характеристику: оно является взаимно-однозначным или биективным (биекцией). В данном примере это означает, что каждому студенту поставлена в соответствие одна уникальная тема реферата, и обратно – за каждой темой реферата закреплён один и только один студент.

Однако не следует думать, что всякое отображение биективно. Если на 1-й ряд (к множеству ) добавить 7-го студента, то взаимно-однозначное соответствие пропадёт – либо один из студентов останется без темы (отображения не будет вообще) , либо какая-то тема достанется сразу двум студентам. Обратная ситуация: если к множеству добавить седьмую тему, то взаимнооднозначность отображения тоже будет утрачена – одна из тем останется невостребованной.

Уважаемые студенты на 1-м ряду, не расстраивайтесь – остальные 20 человек после пар пойдут прибирать территорию университета от осенней листвы. Завхоз выдаст двадцать голиков, после чего будет установлено взаимно-однозначное соответствие между основной частью группы и мётлами…, а Вольдемар ещё и в магазин сбегать успеет =)).области определения соответствует свой уникальный «игрек», и наоборот – по любому значению «игрек» мы сможем однозначно восстановить «икс». Таким образом, это биективная функция.

! На всякий случай ликвидирую возможное недопонимание: моя постоянная оговорка об области определения не случайна! Функция может быть определена далеко не при всех «икс», и, кроме того, может быть взаимно-однозначной и в этом случае. Типичный пример:

А вот у квадратичной функции не наблюдается ничего подобного, во-первых:
– то есть, различные значения «икс» отобразились в одно и то же значение «игрек»; и во-вторых: если кто-то вычислил значение функции и сообщил нам, что , то не понятно – этот «игрек» получен при или при ? Что и говорить, взаимной однозначностью здесь даже не пахнет.

Задание 2 : просмотреть графики основных элементарных функций и выписать на листок биективные функции. Список для сверки в конце этого урока.

Мощность множества

Интуиция подсказывает, что термин характеризует размер множества, а именно количество его элементов. И интуиция нас не обманывает!

Мощность пустого множества равна нулю.

Мощность множества равна шести.

Мощность множества букв русского алфавита равна тридцати трём.

И вообще – мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества.

…возможно, не все до конца понимают, что такое конечное множество – если начать пересчитывать элементы этого множества, то рано или поздно счёт завершится. Что называется, и китайцы когда-нибудь закончатся.

Само собой, множества можно сравнивать по мощности и их равенство в этом смысле называется равномощностью . Равномощность определяется следующим образом:

Два множества являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие .

Множество студентов равномощно множеству тем рефератов, множество букв русского алфавита равномощно любому множеству из 33 элементов и т.д. Заметьте, что именно любому множеству из 33 элементов – в данном случае имеет значение лишь их количество. Буквы русского алфавита можно сопоставить не только с множеством номеров
1, 2, 3, …, 32, 33, но и вообще со стадом в 33 коровы.

Гораздо более интересно обстоят дела с бесконечными множествами. Бесконечности тоже бывают разными! ...зелёными и красными Самые «маленькие» бесконечные множества – это счётные множества. Если совсем просто, элементы такого множества можно пронумеровать. Эталонный пример – это множество натуральных чисел . Да – оно бесконечно, однако у каждого его элемента в ПРИНЦИПЕ есть номер.

Примеров очень много. В частности, счётным является множество всех чётных натуральных чисел . Как это доказать? Нужно установить его взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел или попросту пронумеровывать элементы:

Взаимно-однозначное соответствие установлено, следовательно, множества равномощны и множество счётно. Парадоксально, но с точки зрения мощности – чётных натуральных чисел столько же, сколько и натуральных!

Множество целых чисел тоже счётно. Его элементы можно занумеровать, например, так:

Более того, счётно и множество рациональных чисел . Поскольку числитель – это целое число (а их, как только что показано, можно пронумеровать) , а знаменатель – натуральное число, то рано или поздно мы «доберёмся» до любой рациональной дроби и присвоим ей номер.

А вот множество действительных чисел уже несчётно , т.е. его элементы пронумеровать невозможно. Данный факт хоть и очевиден, однако строго доказывается в теории множеств. Мощность множества действительных чисел также называют континуумом , и по сравнению со счётными множествами это «более бесконечное» множество.

Поскольку между множеством и числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие (см. выше) , то множество точек числовой прямой тоже несчётно . И более того, что на километровом, что на миллиметровом отрезке – точек столько же! Классический пример:


Поворачивая луч против часовой стрелки до его совмещения с лучом мы установим взаимно-однозначное соответствие между точками синих отрезков. Таким образом, на отрезке столько же точек, сколько и на отрезке и !

Данный парадокс, видимо, связан с загадкой бесконечности… но мы сейчас не будем забивать голову проблемами мироздания, ибо на очереди

Задание 2 Взаимно-однозначные функции на иллюстрациях урока

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел
• Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

• ∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
• ∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

Здесь на первый план выступает как раз то, что мы до сих пор принципиально оставляли в стороне, а именно, вопрос о том, как имеющиеся в множествах одинаковой мощности отношения порядка различают эти множества. Ведь те взаимно однозначные отображения самого общего вида, которые мы до сих пор допускали, нарушали все эти отношения - вспомните хотя бы только об отображении квадрата на отрезок! Я бы хотел особенно подчеркнуть значение именно этого второго раздела учения о множествах; ведь не может же это учение иметь своей целью устранить посредством введения новых, более общих понятий те различия, которые с давних пор вошли в обиход математики; скорее, наоборот, это учение может и должно служить тому, чтобы с помощью общих понятий познать эти различия в их самой глубокой сущности.

Порядковые типы счетных множеств.

Теперь наша цель заключается в том, чтобы проиллюстрировать на определенных, общеизвестных примерах понятие различных возможных расположений элементов множества в определенном порядке. Если начинать со счетных множеств, то мы уже знаем три совершенно разные примера расположения элементов в таких множествах, столь различные между собой, что равенство их мощностей составляло, как мы видели, особую и ни в каком случае не самоочевидную теорему; это следующие множества:

1) множество натуральных чисел;

2) множество всех (отрицательных и положительных) целых чисел;

3) множество всех рациональных чисел и множество всех алгебраических чисел.

Расположение элементов во всех этих трех множествах имеет одно общее свойство, в силу которого оно называется линейным порядком в множестве. Это свойство состоит в следующем: из каждых двух элементов какой-нибудь один всегда предшествует другому, т. е., выражаясь алгебраически, всегда известно, какой элемент меньше и какой больше, и, далее, если из трех элементов а, b, с элемент а предшествует элементу b, а элемент b - элементу с, то всегда а предшествует элементу с (если , то

Но, с другой стороны, в рассмотренных примерах имеют место такие характерные различия: в первом множестве существует первый элемент (нуль), который предшествует всем остальным, но нет последнего элемента, который следовал бы за всеми другими; во втором множестве нет ни первого, ни последнего элемента. Но в обоих этих множествах есть то общее, что за всяким элементом непосредственно следует определенный ближайший элемент, и всякому элементу непосредственно предшествует определенный другой элемент.

В противоположность этому у третьего множества между каждыми двумя элементами всегда есть, как мы уже видели выше, бесконечно много других элементов; такое свойство множества мы обозначали термином «всюду плотное множество», так что, в частности, среди всех рациональных или алгебраических чисел, лежащих между а и b, если не считать самих этих чисел, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа. Таким образом, способы расположения элементов в этих трех множествах, т. е. их порядковые типы, различны между собой, хотя сами множества имеют одинаковые мощности. С этим можно связать - и это действительно делают представители теории множеств - вопрос о всех вообще возможных порядковых типах счетных множеств.

Непрерывность континуума. Перейдем теперь к рассмотрению множеств мощности континуума; здесь нам известно одно множество с имеющимся в нем линейным порядком, а именно, континуум всех действительных чисел. Но наряду с ним в двумерном и многомерных случаях мы имеем примеры множеств с расположением элементов, отличным от того, который мы назвали «линейным». Так, в случае множества для того чтобы определить взаимное расположение двух точек, небходимы уже не одно, а два соотношения типа неравенств.

Здесь наиболее важно проанализировать понятие непрерывности одномерного континуума; открытие того, что это понятие действительно основано только лишь на простых свойствах порядка, свойственного множеству является первой замечательной заслугой учения о множествах в деле выяснения основных математических понятий, а именно, оказывается, что все свойства непрерывности континуума проистекают из того, что последний представляет собой линейно упорядоченное множество со следующими двумя свойствами:

1. Если разделить множество на какие-либо две части А, В, но таким образом, чтобы, всякий элемент принадлежал какой-либо одной из этих частей и чтобы все элементы, входящие в часть А, предшествовали всем элементам части В, то в таком случае либо А имеет последний элемент, либо В имеет первый элемент.

Вспоминая дедекиндово определение иррациональных чисел мы можем выразить это свойство еще так: всякое «сечение» в нашем множестве производится одним из его элементов.

2. Между любыми двумя элементами множества имеется бесконечно много других элементов.

Этим вторым свойством обладают не только континуум но и счетное множество всех рациональных чисел; первое же свойство указывает на существенное различие между этими упорядоченными множествами. Всякое линейно упорядоченное множество, обладающее обоими этими свойствами, в учении о множествах называют непрерывным по той причине, что для него действительно можно доказать все теоремы, которые имеют место для континуума в силу его непрерывности.

Я хочу указать еще на то, что эти свойства непрерывности можно формулировать также несколько иначе, а именно, исходя из так называемых «основных» рядов Кантора. Основным рядом называют такую счетную последовательность элементов данного множества, что в самом множестве либо либо Некоторый элемент а множества называют предельным элементом основного ряда, если - в первом случае - в основном ряду всегда найдутся элементы, большие всякого элемента, лежащего в данном множестве до а, но вовсе нет элементов, бблыпих хотя бы одного элемента, расположенного после аналогично определяют предельный элемент во втором случае. Если множество обладает тем свойством, что всякому входящему в его состав основному ряду соответствует в нем предельный элемент, то множество называют замкнутым-, если же, наоборот, всякий элемент множества является предельным элементом некоторого основного ряда, выделенного из него, то множество называют плотным. Непрерывность множеств, имеющих мощность континуума, состоит, существенным об» разом, в соединении обоих этих свойств.

Попутно я хочу здесь напомнить, что при беседе о дифференциальном и интегральном исчислениях мы говорили, еще и о другом континууме - о континууме

Веронезе, который возникает из обыкновенного континуума посредством присоединения актуально бесконечно малых величин. Хотя таким путем получается тоже линейно упорядоченное множество, но тем не менее этот континуум обладает, конечно, совершенно иным типом расположения, чем обычный континуум теорема о том, что всякий основной ряд имеет предельный элемент, здесь уже места не имеет.

Понятие множества является одним из основных математических понятий. Это неопределяемое понятие, его можно только описать или пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве букв в латинском алфавите, множество всех книг в данной библиотеке, множестве студентов в данной группе, множестве всех точек данной линии. Чтобы задать множество, достаточно перечислить элементы или указать характеристические свойства элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Определение 1.1. Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами .

Множество принято обозначать прописными латинскими буквами, а элементы множества – строчными буквами. То, что x является элементом множества A , записывается так: x A (x принадлежит A ). Запись вида x A (x A ) означает, что x не принадлежит A , т.е. не является элементом множества A .

Элементы множества принято записывать в фигурных скобках. Например, если A – множество, состоящее из первых трех букв латинского алфавита, то его записывают так: A= {a,b,c }.

Множество может содержать бесконечно много элементов (множество точек прямой, множество натуральных чисел), конечное число элементов (множество школьников в классе), либо вообще не содержать ни одного элемента (множество студентов пустой аудитории).

Определение 1.2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством , обозначается Ø.

Определение 1.3. Множество A называется подмноже-ством множества B , если каждый элемент множества A принадлежит и множеству B . Это обозначается A B (A – подмножество B ).

Пустое множество считают подмножеством любого множества. Если множество A не является подмножеством множества B , то пишут A B.

Определение 1.4. Два множества A и B называют равными , если являются подмножествами друг друга. Обозначают A = B. Это означает, что если x A , то x B и наоборот, т.е. если и , то .

Определение 1.5. Пересечение множеств A и B называют множество M , элементы которого являются одновременно элементами обоих множеств A и B. Обозначают M= A B. Т.е. x A B , то x A и x B.

Записывают A B= { x | x A и x B }. (Вместо союза и – ставятся знаки , &).

Определение 1.6. Если A B= Ø, то говорят, что множества A и B не пересекаются.

Аналогично можно определить пересечение 3-х, 4-х и любого конечного числа множеств.

Определение 1.7. Объединением множеств A и B называют множество M , элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств.Обозначают M=A B. Т.о. A B= { x | x A или x B }. (Вместо союза или – ставится знак ).

Аналогично определяется и множество A 1 A 2 … A n . Оно состоит из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A 1 , A 2 ,…, A n (а может быть, и нескольким сразу).

Пример 1.8. 1) если A= {1;2;3;4;5} и B= {1;3;5;7;9}, то A B= {1;3;5} и A B= {1;2;3;4;5;7;9}.

2) если A= {2;4} и B= {3;7}, то A B= Ø и A B= {2;3;4;7}.

3) если A= {летние месяцы} и B= {месяцы, в которых 30 дней}, то A B= {июнь} и A B= {апрель; июнь; июль; август; сентябрь; ноябрь}.

Определение 1.9. Натуральными называются числа 1,2,3,4,…, используемые для счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается N, N={1;2;3;4;…;n;…}. Оно является бесконечным, имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента.

Пример 1.10. A – множество натуральных делителей числа 40. Перечислить элементы этого множества. Верно ли, что 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A = {1,2,4,5,8,10,20,40}. (В,В,Н,Н,Н,В)

Пример 1.11. Перечислите элементы множеств, заданных характеристическими свойствами.