Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.
1. Рассмотрим, например, такое неравенство
Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.
В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.
Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.
Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.
Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида .
Где и - корни квадратного уравнения .
Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Нули знаменателя и - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и - закрашены, так как неравенство нестрогое. При и наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.
Эти точки разбивают ось на промежутков.
Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным - либо "плюс", либо "минус".
И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак .
Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .
Возьмем . При выражение положительно - следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .
При левая часть неравенства отрицательна.
И, наконец, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .
Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:
Ответ: .
Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным .
Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:
Или class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left(x \right)}{\displaystyle Q\left(x \right)} > 0"> , или , или .
(в левой части - дробно-рациональная функция, в правой - нуль).
Затем - отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого - записываем ответ. Вот и всё.
Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.
2. Рассмотрим еще одно неравенство.
Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left(x-2 \right)^2}{\displaystyle \left(x-1 \right)\left(x-3 \right)}>0">
Снова расставляем точки на оси . Точки и - выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка - тоже выколота, поскольку неравенство строгое.
При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :
При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :
При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :
Наконец, при class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :
Ответ: .
Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку "ответственный" за неё множитель не изменил знак . Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.
Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку знак выражения в левой части не меняется . В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.
3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:
Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:
Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением.
Ответ: .
В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!
4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:
Квадратный трехчлен на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно - положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции .
И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:
Которое легко решается методом интервалов.
Обратите внимание - мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.
5 . Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:
Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину - знак неравенства меняется.
Мы поступим по другому - соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:
Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x-2}{\displaystyle x}>0">
И после этого - применим метод интервалов .
см. также Решение задачи линейного программирования графически , Каноническая форма задач линейного программирования
Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F
= C
1 x
+ C
2 y
, которую необходимо максимизировать.
Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x
; y
) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x
– 5 y
≥ 42 удовлетворяют пары (x
, y
) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax
+ by
≤ c
, ax
+ by
≥ c
. Прямая ax
+ by
= c
делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax
+ by
>c
, а другой неравенству ax
+ +by
<c
.
Действительно, возьмем точку с координатой x
= x
0 ; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x
0 , имеет ординату
Пусть для определенности a
< 0, b
>0,
c
>0. Все точки с абсциссой x
0 , лежащие выше P
(например, точка М
), имеют y M
>y
0 , а все точки, лежащие ниже точки P
, с абсциссой x
0 , имеют y N
<y
0 .
Поскольку x
0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки,
для которых ax
+ by
> c
, образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax
+ by
< c
.
Рисунок 1
Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a
, b
, c
.
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:
- Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
- Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
- Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
- Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.
Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.
Рассмотрим три соответствующих примера.
Пример 1.
Решить графически систему:
x
+ y –
1 ≤ 0;
–2 x –
2y
+ 5 ≤ 0.
- рассмотрим уравнения x+y–1=0 и –2x–2y+5=0 , соответствующие неравенствам;
- построим прямые, задающиеся этими уравнениями.
Рисунок 2
Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x
+ y–
1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x
+ y
–
1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства.
Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x
– 2y
+ 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x
– 2y
+ 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.
Пример 2.
Найти графически решения системы неравенств:
Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x
+ 2y
– 2 = 0
| x | 2 | 0 |
| y | 0 | 1 |
y – x – 1 = 0
| x | 0 | 2 |
| y | 1 | 3 |
y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y – 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x – 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых
Таким образом, А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2).
Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.
Здравствуйте! Дорогие мои ученики, в этой статье мы научимся с вами решать показательные неравенства.
Каким бы сложным не показалось вам показательное неравенство, после некоторых преобразований (о них мы поговорим чуть позже) все неравенства сводятся к решению простейших показательных неравенств :
а х > b , a x < b и a x ≥ b , a x ≤ b .
Давайте попробуем разобраться как же решаются такие неравенства.
Мы рассмотрим решение строгих неравенств . Отличие при решении нестрогих неравенств заключается только в том, что полученные соответствующие корни включаются в ответ.
Пусть надо решить неравенство вида а f (x) > b , где a>1 и b>0 .
Посмотрите на схему решения таких неравенств (рисунок 1):
Сейчас рассмотрим конкретный пример. Решить неравенство: 5 х – 1 > 125 .
Так как 5 > 1 и 125 > 0, то
х – 1 >
log
5
125, то есть
х – 1 > 3,
х > 4.
Ответ: (4; +∞) .
А каким же будет решение этого же неравенства а f (x) >b
, если 0
Итак, схема на рисунке 2
Пример: Решить неравенство (1/2) 2x - 2 ≥ 4
Применяя правило (рисунок 2), получаем
2х – 2 ≤ log
1/2 4,
2х – 2 ≤ –2,
2х ≤ 0,
х ≤ 0.
Ответ: (–∞; 0] .
Снова рассмотрим это же неравенство а f (x) > b , если a>0 и b<0 .
Итак, схема на рисунке 3:
Пример решения неравенства (1/3) х + 2 > –9 . Как мы замечаем, какое бы число мы не подставили вместо х, (1/3) х + 2 всегда больше нуля.
Ответ: (–∞; +∞) .
А как же решаются неравенства вида а f (x) < b , где a>1 и b>0 ?
Схема на рисунке 4:
И следующий пример: 3 3 – х ≥ 8
.
Поскольку 3 > 1 и 8 > 0, то
3 – х > log
3 8, то есть
–х > log
3 8 – 3,
х < 3 – log
3 8.
Ответ: (0; 3–log 3 8) .
Как же измениться решение неравенства а f (x) < b
, при 0
Схема на рисунке 5:
И следующий пример: Решить неравенство 0,6 2х – 3 < 0,36 .
Cледуя схеме на рисунке 5, получаем
2х – 3 > log
0,6
0,36
,
2х – 3 > 2,
2х > 5,
х > 2,5
Ответ: (2,5; +∞) .
Рассмотрим последнюю схему решения неравенства вида а f (x) < b , при a>0 и b<0 , представленную на рисунке 6:
Например, решим неравенство:
Замечаем, что какое бы число мы не подставили вместо х, левая часть неравенства всегда больше нуля, а у нас это выражение меньше -8, т.е. и нуля, значит решений нет.
Ответ: решений нет .
Зная как решаются простейшие показательные неравенства, можно приступить и к решению показательных неравенств .
Пример 1.
Найти наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравеству
Так как 6 х больше нуля (ни при каком х знаменатель в ноль не обращается), умножим обе части неравенства на 6 х, получим:
440 – 2· 6 2х > 8, тогда
– 2· 6 2х > 8 – 440,
– 2· 6 2х > – 332,
6 2х < 216,
2х < 3,
x < 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.
Ответ: 1 .
Пример 2 .
Решить неравенство 2 2 x – 3·2 x + 2 ≤ 0
Обозначим 2 х через у, получим неравенство у 2 – 3у + 2 ≤ 0, решим это квадратное неравенство.
у 2 – 3у +2 = 0,
у 1 = 1 и у 2 = 2.
Ветви параболы направлены вверх, изобразим график:
Тогда решением неравенства будет неравенство 1 < у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.
Ответ: (0; 1) .
Пример 3
. Решите неравенство 5 x +1 – 3 x +2 < 2·5 x – 2·3 x –1
Соберем выражения с одинаковыми основаниями в одной части неравенства
5 x +1 – 2·5 x < 3 x +2 – 2·3 x –1
Вынесем в левой части неравенства за скобки 5 x , а в правой части неравенства 3 х и получим неравенство
5 х (5 – 2) < 3 х (9 – 2/3),
3·5 х < (25/3)·3 х
Разделим обе части неравенства на выражение 3·3 х, знак неравенства не изменится, так как 3·3 х положительное число, получим неравенство:
х < 2 (так как 5/3 > 1).
Ответ: (–∞; 2) .
Если у вас возникнут вопросы по решению показательных неравенств или вы захотите попрактиковаться в решении подобных примеров, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое "квадратное неравенство"? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак "=" (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠ ), получится квадратное неравенство. Например:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Ну, вы поняли...)
Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства - решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине - неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.
Готовое для решения неравенство имеет вид: слева - квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c , справа - ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Вида ах 2 + bх + 0 0, где (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства). Всеми необходимыми для решения таких неравенств фактами теории мы с вами располагаем, в чем сейчас и убедимся.
Пример 1 . Решить неравенство:
а) х 2 - 2х - 3 >0; б) х 2 - 2х - 3 < 0;
в) х 2 - 2х - 3 > 0; г) х 2 - 2х - 3 < 0.
Решение,
а) Рассмотрим параболу у = х 2 - 2х - 3, изображенную на рис. 117.
Решить неравенство х 2 - 2х - 3 > 0 - это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны.
Замечаем, что у > 0, т. е. график функции расположен выше оси х, при х < -1 или при х > 3.
Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (- 00 , - 1), а также все точки открытого луча (3, +00).
Используя знак U (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (-00 , - 1) U (3, +00). Впрочем, ответ можно записать и так: х < - 1; х > 3.
б) Неравенство х 2 - 2х - 3 < 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: график расположен ниже оси х, если -1 < х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).
в) Неравенство х 2 - 2х - 3 > 0 отличается от неравенства х 2 - 2х - 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х 2 - 2х - 3 = 0, т. е. точки х = -1
и х = 3. Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча (-00 , - 1], а также все точки луча .
Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах 2 + bх + с > 0, аккуратно строить параболу график квадратичной функции
у = ах 2 + bх + с (как это было сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы - вверх или вниз. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства.
Пример 2.
Решить неравенство - 2х 2 + Зх + 9 < 0.
Решение.
1) Найдем корни квадратного трехчлена - 2х 2 + Зх + 9: х 1 = 3; х 2 = - 1,5.
2) Парабола, служащая графиком функции у = -2х 2 + Зх + 9, пересекает ось х в точках 3 и - 1,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку старший коэффициент - отрицательное число - 2. На рис. 118 представлен набросок графика.
3) Используя рис. 118, делаем вывод: у < 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Ответ: х < -1,5; х > 3.
Пример 3.
Решить неравенство 4х 2 - 4х + 1 < 0.
Решение.
1) Из уравнения 4х 2 - 4х + 1 = 0 находим .
2) Квадратный трехчлен имеет один корень ; это значит, что парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, не пересекает ось х, а касается ее в точке . Ветви параболы направлены вверх (рис. 119.)
3) С помощью геометрической модели, представленной на рис. 119, устанавливаем, что заданное неравенство выполняется только в точке , поскольку при всех других значениях х ординаты графика положительны.
Ответ: .
Вы, наверное, заметили, что фактически в примерах 1, 2, 3 использовался вполне определенный алгоритм
решения квадратных неравенств, оформим его.
Алгоритм решения квадратного неравенства ах 2 + bх + 0 0 (ах 2 + bх + с < 0)
На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же делать? Тогда алгоритм неприменим, значит, надо рассуждать как-то по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы.
Иными словами, если D < 0, а > 0, то неравенство ах 2 + bх + с > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с < 0 не имеет решений.
Доказательство.
Графиком функции
у = ах 2 + bх + с является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку а > 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 120. Видим, что при всех х график расположен выше оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с > 0, что и требовалось доказать.
Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с > 0 не имеет решений.
Доказательство. Графиком функции у = ах 2 + bх +с является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.
Пример 4 . Решить неравенство:
а) 2х 2 - х + 4 >0; б) -х 2 + Зх - 8 >0.
а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х 2 - х + 4. Имеем D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31 < 0.
Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен.
Значит, по теореме 1, при всех х выполняется неравенство 2x 2 - х + 4 > 0, т. е. решением заданного неравенства служит вся (-00 , + 00).
б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена - х 2 + Зх - 8. Имеем D = З2 - 4 (- 1) (- 8) = - 23 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Ответ: а) (-00 , + 00); б) нет решений.
В следующем примере мы познакомимся еще с одним способом рассуждений, который применяется при решении квадратных неравенств.
Пример 5.
Решить неравенство Зх 2 - 10х + 3 < 0.
Решение. Разложим квадратный трехчлен Зx 2 - 10x + 3 на множители. Корнями трехчлена являются числа 3 и , поэтому воспользовавшись ах 2 + bх + с = а (х - x 1)(x - х 2),получим Зx 2 - 10х + 3 = 3(х - 3) (х - )
Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 3 и (рис. 122).
Пусть х > 3; тогда x-3>0 и x->0, а значит, и произведение 3(х - 3)(х - ) положительно. Далее, пусть < х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Следовательно, произведение 3(х-3)(х-) отрицательно. Пусть, наконец, х <; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) положительно.
Подводя итог рассуждениям, приходим к выводу: знаки квадратного трехчлена Зx 2 - 10х + 3 изменяются так, как показано на рис. 122. Нас же интересует, при каких х квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. Из рис. 122 делаем вывод: квадратный трехчлен Зx 2 - 10х + 3 принимает отрицательные значения для любого значения х из интервала (, 3)
Ответ (, 3), или < х < 3.
Замечание. Метод рассуждений, который мы применили в примере 5, обычно называют методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств. В 9-м классе мы изучим метод интервалов более детально.
Пример 6
. При каких значениях параметра р квадратное уравнение х 2 - 5х + р 2 = 0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет -корней?
Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 - 4р 2 .
а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D>0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4р 2 > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносильное неравенство 4р 2 - 25 < 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.
Знаки выражения 4(р - 2,5) (р + 2,5) указаны на рис. 123.
Делаем вывод, что неравенство 4(р - 2,5)(р + 2,5) < 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.
б) квадратное уравнение
имеет один корень, если D - 0.
Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5.
Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень.
в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.
Получаем 4р 2 - 25 > 0; 4 (р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ: а) при р (-2,5, 2,5);
б) при р = 2,5 илир = -2,5;
в) при р < - 2,5 или р > 2,5.
Мордкович А. Г., Алгебра
. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.
Помощь школьнику онлайн , Математика для 8 класса скачать , календарно-тематическое планирование