Цели урока:
- Образовательные:
- ввести понятие предела числа, предела функции;
- дать понятия о видах неопределенности;
- научиться вычислять пределы функции;
- систематизировать полученные знания, активизировать самоконтроль, взаимоконтроль.
- Развивающие:
- уметь применять полученные знания для вычисления пределов.
- развивать математическое мышление.
- Воспитательная: воспитать интерес к математике и к дисциплинам умственного труда.
Тип урока: первый урок
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная
Необходимое оборудование: интерактивная доска, мультимедиа проектор, карточки с устными и подготовительными упражнениями.
План урока
1. Организационный момент (3 мин.)
2. Ознакомление с теорией предела функции.
Подготовительные упражнения. (12 мин.)
3. Вычисление пределов функции (10 мин.)
4. Самостоятельные упражнения (15 мин.)
5. Подведение итогов урока (2 мин.)
6. Домашнее задание (3 мин.)
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Приветствие учителя, отметить отсутствующих, проверить подготовку к уроку. Сообщить тему и цель урока. В дальнейшем все задания выводятся на интерактивную доску.
2. Ознакомление с теорией предела функции. Подготовительные упражнения.
Предел функции
(предельное
значение функции
) в заданной точке, предельной для
области определения функции, - такая величина, к
которой стремится рассматриваемая функция при
стремлении её аргумента к данной точке.
Записывается предел следующим образом .
Вычислим предел:
Подставляем вместо х – 3.
Заметим, что предел числа равен самому числу.
Примеры : вычислите пределы
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной (в данной точке).
Вычислим значение функции в точке x 0 = 3 и значение его предела в этой точке.
Значение предела и значение функции в этой точке совпадает, следовательно, функция непрерывна в точке x 0 = 3.
Но при вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.
Основные виды неопределенностей:
Раскрытие неопределенностей
Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
- упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
- если предел при раскрытии неопределенностей существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Пример
: вычислим предел.
Разложим числитель на множители
3. Вычисление пределов функции
Пример 1
. Вычислите предел функции: 
При прямой подстановке, получается неопределенность:
4. Самостоятельные упражнения
Вычислите пределы:
5. Подведение итогов урока
Данный урок первый
В данном проекте рассматривался наряду с теоретическим материалом и практический. В практическом применении рассмотрели всевозможные способы вычисления пределов. Изучение второго раздела высшей математики уже вызывает большой интерес, так как в прошлом году рассматривали тему «Матрицы. Применение свойств матрицы к решению систем уравнений», которая была простой, хотя бы по той причине, что получаемый результат был контролируемым. Здесь такого контроля нет. Изучение Разделов высшей математики дает свой положительный результат. Занятия по данному курсу принесли свои результаты: - изучен большой объем теоретического и практического материала; - выработано умение выбирать способ вычисления предела; - отработано грамотное использование каждого способа вычисления; - закреплено умение проектировать алгоритм задания. Мы будем продолжать изучение разделов высшей математики. Цель ее изучения состоит в том, что мы будем хорошо готовы к повторному изучению курса высшей математики.
Правила вычисления пределов Если lim f(x) = b и lim g(x) =c, то x 1) Предел суммы равен сумме пределов: lim (f(x)+ g(x)) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) Предел произведения равен произведению пределов: lim f(x)·g(x) = lim f(x) * lim g(x) = b·c x x x 3) Предел частного равен частному пределов: lim f(х):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x 4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim k· f(x) = k · lim f(x)= k b x x
План конспекта Графики функций y=1/x и y=1/x 2. Графики функций y=1/x m, для m четных и нечетных. Понятие горизонтальной асимптоты. Понятия предела функции на +, -,. Геометрический смысл предела функции на +, -,. Правила вычисления пределов функции на. Формулы вычисления предела функции на. Приемы вычисления пределов функции на.
Итог урока Что означает существование предела функции на бесконечности? Какую асимптоту имеет функция y=1/ x 4 ? Какие вы знаете правила для вычисления пределов функции на бесконечности? С какими формулами вычисления пределов на бесконечности вы познакомились? Как найти lim (5-3x 3) / (6x 3 +2)? x
Использованная литература: - А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа классы. Мнемозина.М А.Г.Мордкович., П.В.Семенов. Методическое пособие для учителя. Алгебра и начала математического анализа класс. Базовый уровень. М.Мнемозина. 2010
Предел функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может самой точки x 0. Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:
Односторонние пределы В определении предела функции Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0), большим, чем x 0 (справа от x 0), или колеблясь около точки x 0. Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0, если для любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так:
0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так:">
Односторонние пределы Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0, если Предел справа записывают так: y 0 х А1А1 х0х0 А2А2 Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами. Очевидно, если существует то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2 y 0 х А 1 =А 2 =А х0х0
M или при x M или при x 6 Предел функции при x стремящемся к бесконечности Пусть функция y = f(x) определена в промежутке. Число А называют пределом функции при, если Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М, что при х > M или при x M или при x M или при x M или при x M или при x title="Предел функции при x стремящемся к бесконечности Пусть функция y = f(x) определена в промежутке. Число А называют пределом функции при, если Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М, что при х > M или при x
Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов: Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением:. Предел произведения двух функций равен произведению пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
X 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы" title="Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы" class="link_thumb"> 9 Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел: x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы"> x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел:"> x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы" title="Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы"> title="Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правы">
Вычисление пределов Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x). Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен:
Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.
15
Первый замечательный предел Функция не определена при x = 0. Найдем предел этой функции при О АВ С М Обозначим: S 1 - площадь треугольника OMA, S 2 - площадь сектора OMА, S 3 - площадь треугольника OСА, Из рисунка видно, что S 1
