Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Описанная окружность
Определение: окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. На каком рисунке окружность описана около треугольника: 1) 2) 3) 4) 5) Если окружность описана около треугольника, то треугольник вписан в окружность.
Теорема. Около треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. А В С Дано: АВС Доказать: существует Окр.(О; r) , описанная около АВС. Доказательство: Проведём серединные перпендикуляры p, k,n к сторонам АВ, ВС, АС По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (замечательная точка треугольника): они пересекаются в одной точке – О, для которой ОА = ОВ = ОС. Т. е. все вершины треугольника равноудалены от точки О, значит, они лежат на окружности с центром О. Значит, окружность описана около треугольника АВС. О n p k
Важное свойство: Если окружность описана около прямоугольного треугольника, то её центр – середина гипотенузы. O R R C A B R = ½ AB Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.
a b c R R = Формулы для радиуса описанной около треугольника окружности Задача: найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см. Решение: R = R = , Ответ: см (см)
Задача: в окружность, радиус которой 10 см, вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к его основанию равна 16 см. Найти боковую сторону и площадь треугольника. А В С О Н Решение: Т. к. окружность описана около равнобедренного треугольника АВС, то центр окружности лежит на высоте ВН. АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО = = 16 – 10 = 6 (см) АОН – прямоугольный, АО 2 = АН 2 + АН 2 , АН 2 = 10 2 – 6 2 = 64, АН = 8 см АВН – прямоугольный, АВ 2 = АН 2 + ВН 2 = 8 2 + 16 2 = 64 + 256= 320, АВ = (см) АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), S АВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см 2) Ответ: АВ = см S = 128 см 2 , Найти: АВ, S АВС Дано: АВС- р/б, ВН АС, ВН = 16 см Окр.(О; 10 см) описана около АВС
Определение: окружность называется описанной около четырёхугольника, если все вершины четырёхугольника лежат на окружности. Теорема. Если около четырёхугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 0 . Доказательство: Т. к. окружность описана около АВС D , то А, В, С, D – вписанные, значит, А + C = ½ BCD + ½ BAD = ½ (BCD + BAD) = ½ · 360 0 = 180 0 B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ (ADC+ ABC) = ½ · 360 0 = 180 0 A + C = B + D = 180 0 Дано: Окр.(О; R) описана около АВС D Доказать: Значит, A + C = B + D = 180 0 Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружность четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . A B C D О
Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность. Дано: АВС D, A + C = 180 0 A B C D О Доказать: Окр.(О; R) описана около АВС D Доказательство: № 729 (учебник) Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?
Следствие 1: около любого прямоугольника можно описать окружность, её центр – точка пересечения диагоналей. Следствие 2: около равнобедренной трапеции можно описать окружность. А В С К
Реши задачи 80 0 120 0 ? ? А В С М К Н О Р Е 70 0 Найти углы четырёхугольника РКЕН: 80 0
«Алгебра и геометрия» - Женщина обучает детей геометрии. Прокл был уже, по-види-мому, последним представителем греческой геометрии. За пределами 4-й степени таких формул для общего решения уравнений не существует. Посредни-ками между эллинской и новой европейской наукой явились арабы. Был поставлен вопрос о геометризации физики.
«Термины по геометрии» - Биссектриса треугольника. Абсцисса точки. Диагональ. Словарь по геометрии. Окружность. Радиус. Периметр треугольника. Вертикальные углы. Термины. Угол. Хорда окружности. Вы можете добавит свои термины. Теорема. Выберите первую букву. Геометрия. Электронный словарь. Ломаная. Циркуль. Смежные углы. Медиана треугольника.
«Геометрия 8 класс» - Так перебирая теоремы, можно добраться до аксиом. Понятие теоремы. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. а2+в2=с2. Понятие аксиом. Каждое математическое утверждение, получаемое путем логического доказательства, есть теорема. У любого здания есть фундамент. Каждое утверждение опирается на уже доказанные.
«Наглядная геометрия» - Квадрат. Конверт № 3. Помогите, пожалуйста, ребята, а то Матроскин меня совсем со свету Сживет. Все стороны квадрата равны. Квадраты вокруг нас. Сколько квадратов изображено на рисунке? Задачи на внимательность. Конверт № 2. Все углы квадрата прямые. Дорогой Шарик! Наглядная геометрия, 5 класс. Отличные свойства Разная длина сторон Разный цвет.
«Начальные геометрические сведения» - Евклид. Чтение. Что говорят фигуры о нас. На рисунке выделена часть прямой, ограниченная двумя точками. Через одну точку можно провести сколько угодно различных прямых. Математика. В геометрии нет царского пути. Запись. Дополнительные задачи. Планиметрия. Обозначение. Страницы «Начал» Евклида. Платон (477-347 до н.э.) - древнегреческий философ, ученик Сократа.
«Таблицы по геометрии» - Таблицы. Умножение вектора на число Осевая и центральная симметрия. Касательная к окружности Центральные и вписанные углы Вписанная и описанная окружность Понятие вектора Сложение и вычитание векторов. Содержание: Многоугольники Параллелограмм и трапеция Прямоугольник, ромб, квадрат Площадь многоугольника Площадь треугольника, параллелограмма и трапеции Теорема Пифагора Подобные треугольники Признаки подобия треугольников Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Взаимное расположение прямой и окружности.
На каком рисунке окружность вписана в треугольник?
Если окружность вписана в треугольник,
то треугольник описан около окружности.
Теорема. В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника.
Дано: АВС
Доказать: существует Окр.(О; r),
вписанная в треугольник
Доказательство:
Проведём биссектрисы треугольника:АА 1 , ВВ 1 , СС 1 .
По свойству (замечательная точка треугольника)
биссектрисы пересекаются в одной точке – О,
и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т. е:
ОК = ОЕ = ОР, где ОК АВ, ОЕ ВС, ОР АС, значит,
О – центр окружности, а АВ, ВС, АС – касательные к ней.
Значит, окружность вписана в АВС.
Дано: Окр.(О; r) вписана в АВС,
р = ½ (АВ + ВС + АС) – полупериметр.
Доказать: S ABC = p · r
Доказательство:
соединим центр окружности с вершинами
треугольника и проведём радиусы
окружности в точки касания.
Эти радиусы являются
высотами треугольников АОВ, ВОС, СОА.
S ABC = S AOB +S BOC + S AOC = ½ AB · r + ½ BC · r + ½ AC · r =
= ½ (AB + BC + AC) · r = ½ p · r.
Задача: в равносторонний треугольник со стороной 4 см
вписана окружность. Найдите её радиус.
Вывод формулы для радиуса вписанной в треугольник окружности
S = p · r = ½ P · r = ½ (a + b + c) · r
2S = (a + b + c) · r
Нужная формула для радиуса окружности,
вписанной в прямоугольный треугольник
- катеты, с - гипотенуза
Определение: окружность называется вписанной в четырёхугольник, если все стороны четырёхугольника касаются её.
На каком рисунке окружность вписана в четырёхугольник:
Теорема: если в четырёхугольник вписана окружность,
то суммы противоположных сторон
четырёхугольника равны ( в любом описанном
четырёхугольнике суммы противоположных
сторон равны).
АВ + СК = ВС + АК.
Обратная теорема: если суммы противоположных сторон
выпуклого четырёхугольника равны,
то в него можно вписать окружность.
Задача: в ромб, острый угол которого 60 0 , вписана окружность,
радиус которой равен 2 см. Найти периметр ромба.
Реши задачи
Дано: Окр.(О; r) вписана в АВСК,
Р АВСК = 10
Найти: ВС + АК
Дано: АВСМ описан около Окр.(О; r)
BC = 6, AM = 15,
Cлайд 1
Cлайд 2
Определение: окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. Если окружность описана около треугольника, то треугольник вписан в окружность.
Cлайд 3
Теорема. Около треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Доказательство: Проведём серединные перпендикуляры p, k,n к сторонам АВ, ВС, АС По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (замечательная точка треугольника): они пересекаются в одной точке – О, для которой ОА = ОВ = ОС. Т. е. все вершины треугольника равноудалены от точки О, значит, они лежат на окружности с центром О. Значит, окружность описана около треугольника АВС.
Cлайд 4
Важное свойство: Если окружность описана около прямоугольного треугольника, то её центр – середина гипотенузы. R = ½ AB Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см.
Cлайд 5
Формулы для радиуса описанной около треугольника окружности Задача: найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см. Решение:
Cлайд 6
Задача: в окружность, радиус которой 10 см, вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к его основанию равна 16 см. Найти боковую сторону и площадь треугольника. Решение: Т. к. окружность описана около равнобедренного треугольника АВС, то центр окружности лежит на высоте ВН. АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО = = 16 – 10 = 6 (см) АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), SАВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см2)
Cлайд 7
Определение: окружность называется описанной около четырёхугольника, если все вершины четырёхугольника лежат на окружности. Теорема. Если около четырёхугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800. Доказательство: Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружность четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800.
Cлайд 8
Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность. Доказательство: № 729 (учебник) Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?
OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>" title="Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>" class="link_thumb"> 8 Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>"> OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>"> OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>" title="Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>"> title="Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>">
Свойства треугольника и трапеции, вписанных в окружность Центр окр-ти, описанной около п/у тр- ка, лежит на середине гипотенузы Центр окр-ти, описанной около остроугольного тр-ка, лежит в тр-ке Центр окр-ти, описанной около тупоугольного тр-ка, не лежит в тр-ке Если около трапеции можно описать окр-ть, то она равнобедренная
