Случаи приведения к простейшему виду
Приведение к паре
Пусть в результате приведения сил к центру О оказалось, что главный вектор равен нулю, а главный момент отличен от нуля: . Тогда в силу основной теоремы статики можем написать
Это означает, что исходная система сил в этом случае эквивалентна паре сил с моментом .
Момент пары не зависит от того, какая точка выбрана в качестве центра моментов при вычислении момента пары. Следовательно, в данном случае главный момент не должен зависеть от выбора центра приведения. Но именно к этому выводу и приводит соотношение
связывающее главные моменты относительно двух различных центров. При добавочный член также равен нулю, и мы получаем
Приведение к равнодействующей
Пусть теперь главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю: . В силу основной теоремы статики имеем
то есть система сил оказывается эквивалентной одной силе - главному вектору. Следовательно, в этом случае исходная система сил приводится к равнодействующей, и эта равнодействующая совпадает с главным вектором, приложенным в центре приведения: .
Система сил приводится к равнодействующей и в том случае, когда главный вектор и главный момент оба не равны нулю, но взаимно перпендикулярны: . Доказательство осуществляется при помощи следующей последовательности действий.
Через центр приведения О проводим плоскость, перпендикулярную главному моменту (рис. 50, а). На рисунке эта плоскость совмещена с плоскостью чертежа, в ней же расположен главный вектор . В этой плоскости строим пару с моментом , причем силы пары выберем равными по модулю главному вектору ; тогда плечо пары будет равно . Далее переместим пару в ее плоскости таким образом, чтобы одна из сил пары оказалась приложенной в центре приведения О противоположно главному ; вторая сила пары будет приложена в точке С, отстоящей от центра О в нужную сторону, определяемую направлением , на расстоянии ОС, равном плечу пары h (рис. 50, б). Отбрасывая теперь уравновешенные силы R и - , приложенные в точке О, приходим к одной силе , приложенной в точке С (рис. 50, в). Она и будет служить равнодействующей данной системы сил .
Видно, что равйодействующая по-прежнему равна главному вектору , однако отличается от главного вектора своей точкой приложения. Если главный вектор приложен в центре приведения О, то равнодействующая - в точке С, положение которой требует специального определения. Геометрический способ нахождения точки С виден из проделанного выше построения.
Для момента равнодействующей относительно центра приведения О можно написать (см. рис. 50):
или, опуская промежуточные значения:
Если спроектировать это векторное равенство на какую-либо ось , проходящую через точку О, получаем соответствующее равенство в проекциях:
Вспоминая, что проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, является моментом силы относительно оси, перепишем этой равенство так:
Полученные равенства выражают теорему Вариньона в ее общем виде (в лекции 2 теорема была сформулирована только для сходящихся сил): если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей (относительно точки, относительно оси) равен сумме моментов всех заданных сил - составляющих (относительно той же точки, той же оси). Понятно, что в случае точки суммирование моментов векторное, в случае оси - алгебраическое.
Приведение к динаме
Динамой или динамическим винтом называется совокупность пары сил и силы, направленной перпендикулярно плоскости действия пары. Можно показать, что в общем случае приведения, когда и не перпендикулярен , исходная система сил эквивалентна некоторой динаме.
Случаи приведения к простейшему виду
Приведение к паре
Пусть в результате приведения сил к центру О оказалось, что главный вектор равен нулю, а главный момент отличен от нуля: . Тогда в силу основной теоремы статики можем написать
Это означает, что исходная система сил в этом случае эквивалентна паре сил с моментом .
Момент пары не зависит от того, какая точка выбрана в качестве центра моментов при вычислении момента пары. Следовательно, в данном случае главный момент не должен зависеть от выбора центра приведения. Но именно к этому выводу и приводит соотношение
связывающее главные моменты относительно двух различных центров. При добавочный член также равен нулю, и мы получаем
Приведение к равнодействующей
Пусть теперь главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю: . В силу основной теоремы статики имеем
то есть система сил оказывается эквивалентной одной силе - главному вектору. Следовательно, в этом случае исходная система сил приводится к равнодействующей, и эта равнодействующая совпадает с главным вектором, приложенным в центре приведения: .
Система сил приводится к равнодействующей и в том случае, когда главный вектор и главный момент оба не равны нулю, но взаимно перпендикулярны: . Доказательство осуществляется при помощи следующей последовательности действий.
Через центр приведения О проводим плоскость, перпендикулярную главному моменту (рис. 50, а). На рисунке эта плоскость совмещена с плоскостью чертежа, в ней же расположен главный вектор . В этой плоскости строим пару с моментом , причем силы пары выберем равными по модулю главному вектору ; тогда плечо пары будет равно . Далее переместим пару в ее плоскости таким образом, чтобы одна из сил пары оказалась приложенной в центре приведения О противоположно главному ; вторая сила пары будет приложена в точке С, отстоящей от центра О в нужную сторону, определяемую направлением , на расстоянии ОС, равном плечу пары h (рис. 50, б). Отбрасывая теперь уравновешенные силы R и - , приложенные в точке О, приходим к одной силе , приложенной в точке С (рис. 50, в). Она и будет служить равнодействующей данной системы сил .
Видно, что равйодействующая по-прежнему равна главному вектору , однако отличается от главного вектора своей точкой приложения. Если главный вектор приложен в центре приведения О, то равнодействующая - в точке С, положение которой требует специального определения. Геометрический способ нахождения точки С виден из проделанного выше построения.
Для момента равнодействующей относительно центра приведения О можно написать (см. рис. 50):
или, опуская промежуточные значения:
Если спроектировать это векторное равенство на какую-либо ось , проходящую через точку О, получаем соответствующее равенство в проекциях:
Вспоминая, что проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, является моментом силы относительно оси, перепишем этой равенство так:
Полученные равенства выражают теорему Вариньона в ее общем виде (в лекции 2 теорема была сформулирована только для сходящихся сил): если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей (относительно точки, относительно оси) равен сумме моментов всех заданных сил - составляющих (относительно той же точки, той же оси). Понятно, что в случае точки суммирование моментов векторное, в случае оси - алгебраическое.
Приведение к динаме
Динамой или динамическим винтом называется совокупность пары сил и силы, направленной перпендикулярно плоскости действия пары. Можно показать, что в общем случае приведения, когда и не перпендикулярен , исходная система сил эквивалентна некоторой динаме.
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор и главный момент равны нулю, т.е.
Система сил уравновешена. Под действием такой системы сил твердое тело будет находиться в равновесии. Очевидно, что в общем случае двум векторным уравнениям (4.1) соответствуют шесть скалярных уравнений, отражающих равенство нулю проекций этих векторов на оси выбранной координатной системы (например, декартовой).
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю, т.е.
На тело действует результирующая пара сил, стремящаяся его повернуть. Заметим, что в этом случае выбор центра приведения не влияет на результат.
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю, т.е.
На тело действует равнодействующая системы сил, проходящая через центр приведения и стремящаяся сдвинуть тело вдоль линии своего действия. Очевидно, что соотношения (4.3.) справедливы для всех точек линии действия равнодействующей.
Заметим, что к этому случаю сводится действие системы сходящихся сил, если за центр приведения принять точку пересечения линий действия сил системы (т.к. моменты сил относительно этой точки равны нулю).
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор и главный момент не равны нулю, а их направления составляют прямой угол, т. е.
то такую систему сил тоже можно привести к равнодействующей, но проходящей через другой центр приведения - точку . Для выполнения этой операции сначала рассмотрим эквивалентные системы сил, изображенные на рис. 4.2.б и рис. 4.1. Очевидно, что если заменить обозначения (точку В назвать центром О, точку А – центром ), стоящая перед нами задача требует выполнения операции, обратной выполненной в лемме о параллельном переносе силы. С учетом сказанного, точка должна, во-первых, располагаться в плоскости, перпендикулярной вектору главного момента, проходящей через центр О, и, во-вторых, лежать на линии, параллельной линии действия главного вектора сил и отстоящей от нее на расстоянии h, равном
Из двух найденных линий следует выбрать ту, для точек которой равен нулю вектор главного момента (момент главного вектора сил относительно нового центра должен быть равен по модулю и противоположен по направлению главному моменту системы сил относительно точки О).
В общем случае после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О неравные нулю главный вектор и главный момент составляют между собой не прямой угол (рис.4.5.а).
Если главный момент разложить на две составляющие – вдоль главного вектора сил и перпендикулярно ему, то, в соответствии с (4.5), может быть найден такой центр приведения , для которого перпендикулярная составляющая главного момента становится равной нулю, а величины и направления главного вектора и первой составляющей главного момента остаются прежними (рис.4.5.б). Совокупность векторов и называется силовым винтом или динамой .
Дальнейшее упрощение не представляется возможным.
Поскольку при такой смене центра приведения изменяется только проекция главного момента на направление, перпендикулярное главному вектору системы сил, остается неизменной величина скалярного произведения этих векторов, т.е.
Это выражение называется вторым инвариантом
статики .
Пример 4.1. На вершины прямоугольного параллелепипеда со сторонами и действуют силы и (см. рис.4.6). Приняв за центр приведения системы сил начало координат указанной на рисунке декартовой координатной системы, записать выражения для проекций главного вектора и главного момента.
Запишем тригонометрические соотношения для определения углов:
Теперь можно записать выражения для проекций главного вектора и главного момента сил системы:
Примечание: знание проекций вектора на координатные оси позволит, в случае необходимости, вычислить его величину и направляющие косинусы.
Случай I.
Если главный вектор системы сил равен нулю и ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы взаимно уравновешиваются.
Случай II.
Если главный вектор системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения не равен нулю, то силы приводятся к паре сил. Момент этой пары сил равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.
В этом случае главные моменты системы сил относительно всех точек пространства геометрически равны.
Случай III.
Если главный вектор системы сил не равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы приводятся к равнодействующей , линия действия которой проходит через центр привидения.
Случай IV. и .
Если главный момент системы сил относительно центра приведения перпендикулярен к главному вектору, то силы приводятся к равнодействующей , линия действия которой не проходит через центр приведения (рис. 145).
Случай V. и 
.
Если главный момент системы сил относительно центра приведения не перпендикулярен к главному вектору, то силы приводятся к двум скрещивающимся силам или к силовому винту (динаме), т.е. к совокупности силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна к силе.
Приведение к двум скрещивающимся силам (рис. 147):
Уравнения равновесия различных систем сил
Для сил, произвольно расположенных в пространстве, соответствуют два условия равновесия:
Модули главного момента и главного вектора для рассматриваемой системы сил определяются по формулам:
Условия выполняются только при соответствующих им шести основных уравнения равновесия сил, расположенных произвольно в пространстве:
Первые три уравнения называют уравнениями моментов сил относительно осей координат, а последние три - уравнениями проекций сил на оси.
Формы уравнений равновесия плоской системы сил
Для сил, произвольно расположенных на плоскости, имеются два условия равновесия:
Два условия равновесия сил, произвольно расположенных на плоскости, можно выразить в виде системы трех уравнений:
Эти уравнения называются основными уравнениями равновесия плоской системы сил. Центр моментов и направление осей координат для этой системы уравнений можно выбирать произвольно.
Существует и две другие системы трех уравнений системы сил.
При этом в системе ось u не должна быть перпендикулярна прямой проходящей через точки A и B.
Так как главные моменты системы сил относительно двух центров равны нулю, то рассматриваемая система сил не приводится к паре сил. Проекция равнодействующей на любую ось равна сумме проекций составляющих сил, т.е. следовательно, предполагаемая равнодействующая Таким образом, система сил не приводится ни к паре сил, ни к равнодействующей, а, следовательно, уравновешивается.
где точки A, B, C не лежат на одной прямой. В этом случае силы не приводятся к паре сил, так как главные моменты сил относительно трех центров равны нулю. Силы не приводятся и к равнодействующей, так как если она существует, то линия ее действия не может пройти через три точки не лежащие на одной прямой. Таким образом, система сил не приводится ни к паре сил, ни к равнодействующей, а, следовательно, уравновешивается.
Центр параллельных сил
При сложении двух параллельных сил две параллельные приводятся к одной силе - равнодействующей, линия действия которой направлена параллельно линиям действия сил. Равнодействующая приложена в точке делящей прямую, на расстояния обратно пропорциональные величинам сил.
Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения равнодействующей не определена. Если силы повернуть на один и тот же угол и вновь произвести сложение сил, то получим другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения этих двух линий равнодействующих может рассматриваться как точка приложения равнодействующей, не изменяющая своего положения при повороте всех сил одновременно на один и тот же угол. Такая точка называется центром параллельных сил.
Плоская система сил тоже приводится к силе, равной и приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре с моментом
при этом вектор можно определить или геометрически построением силового многоугольника (см. п. 4), или аналитически. Таким образом, для плоской системы сил
R x =F kx , R y =F ky ,
где все моменты в последнем равенстве алгебраические и сумма тоже алгебраическая.
Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зависит от значений R и М O .
- 1. Если для данной системы сил R=0, a M O ?0, то она приводится к одной паре с моментом М O , значение которого не зависит от выбора центра О.
- 2. Если для данной системы сил R?0, то она приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:
- а) R?0, М O =0. В этом случае система, что сразу видно, приводится к равнодействующей R, проходящей через центр О;
- б) R?0, М O ?0. В этом случае пару с моментом М O можно изобразить двумя силами R" и R", беря R"=R, a R"= - R. При этом, если d=OC - плечо пары, то должно быть Rd=|M O |.
Отбросив теперь силы R и R", как уравновешенные, найдем, что вся система сил заменяется равнодействующей R"=R, проходящей через точку С. Положение точки С определяется двумя условиями: 1) расстояние OC=d () должно удовлетворять равенству Rd=|M O |; 2) знак момента относительно центра О силы R", приложенной в точке С, т. е. знак m O (R") должен совпадать со знаком М O .