Случаю такого равновесия сил соответствуют два условия равновесия
М= Мо = 0, R* = 0.
Модули главного момента Мо и главного вектора R* рассматриваемой системы определяются по формулам
Mo= (M x 2 + M y 2 + +M z 2) 1/2 ; R*= (X 2 + Y 2 +Z 2) 1/2 .
Они раны нулю только при следующих условиях:
M x = 0, M y =0, M z = 0, X=0, Y=0, Z=0,
которым соответствуют шесть основных уравнений равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве
=0; =0;
=0; (5-17)
=0 ; =0.
Три уравнения системы (5-17) слева называются уравнениями моментов сил относительно осей координат, а три справа- уравнениями проекций сил на оси.
При помощи этих формул уравнение моментов можно представить в виде
å (y i Z i - z i Y i)=0; å(z i Х i - x i Z i)=0 ; å(x i Y i - y i X i)=0 . (5-18)
где x i , y i , z i - координаты точек приложения силы Р; Y i , Z i , X i - проекции этой силы на оси координат, могущие иметь любые направления.
Существуют и другие системы шести уравнений равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве.
Приведение системы сил к равнодействующей силе.
Если главный вектор системы сил R* не равен нулю, а главный момент Мо или равен нулю, или направлен перпендикулярно к главному вектору, то заданная система сил приводится к равнодействующей силе.
Возможны 2 случая.
1-й случай.
Пусть R*¹ 0; Mo = 0 . В этом случае силы приводят к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения О, а сила R* заменяет собой заданную систему сил, т.е. является ее равнодействующей.
2-й случай.
R*¹ 0; Mo¹ 0 и Мо ⊥ R*. (рис.5.15).
После приведения системы сил к центру О получена сила R* , приложенная в этом центре и равная главному вектору сил, и пара сил, момент которой М равен главному моменту Мо всех сил относительно центра приведения, причем Мо ⊥ R*.
Выберем силы этой пары R’ и R равными по модулю главному вектору R* , т.е. R= R’ = R*. Тогда плечо этой пары следует взять равным ОК= = М О /R* .Проведем через точку О плоскость I, перпендикулярную к моменту пары сил М . Пара сил R’ , R должна находиться в этой плоскости. Расположим эту пару так, чтобы одна из сил пары R’ была приложена в точке О и направлена противоположно силе R* . Восставим в плоскости I в точке О перпендикуляр к линии действия силы R* , и в точке К на расстоянии ОК= М О /R* от точки О приложим вторую силу пары R .
Отрезок ОК откладываем в такую сторону от точки О, чтобы, смотря навстречу вектору момента М, видеть пару стремящуюся вращать свою плоскость против движения часовой стрелки. Тогда силы R* и R’ , приложенные в точке О, уравновесятся, а сила R пары, приложенная в точке К, заменит собой заданную систему сил, т.е. будет ее равнодействующей. Прямая, совпадающая с линией действия этой силы, является линией действия равнодействующей силы. Рис. 5.15 показывает различие между равнодействующей силой R и силой R* , полученной при приведении сил к центру О.
Равнодействующая R системы сил, приложенная в точке К, имеющая определенную линию действия, эквивалентна заданной системе сил, т.е. заменяет собой эту систему.
Сила же R* в точке О заменяет заданную систему сил только в совокупности с парой сил с моментом М= Мо .
Силу R* можно приложить в любой точке тела, к которой приведены силы. От положения точки зависит только модуль и направление главного момента Мо .
Теорема Вариньона. Момент равнодействующей относительно любой точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этой точки, а момент равнодействующей силы относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов, составляющих сил относительно этой оси.
Произвольную простран-ственную систему сил, как и плос-кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од-ной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M о = 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда дей-ствующие силы удовлетворяют условиям:
ΣX i = 0; ΣM x (P i ) = 0;
ΣY i = 0; ΣM y (P i ) = 0;
ΣZ i = 0; ΣM z (P i ) = 0.
Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю.
Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).
Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.
В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекоменду-ется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматри-ваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.
В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруд-нения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, реко-мендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные состав-ляющие (из которых одна парал-лельна какой-нибудь координат-ной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона .
Пример 5. Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Опреде-лим реакции шарнира и усилие в стержне.
Рис.45
Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.
Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.
Жела-тельно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неиз-вестной силе.
В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и ; точка С , где пересекаются линии действия неизвестных сил и ; точка D - точка пересечения линий действия сил и . Со-ставим уравнение проекций сил на ось у (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).
И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное заме-чание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекоменду-ется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две: и (рис.37) такие, что модули их
Составляем уравнения:
Из второго уравнения находим:
Из третьего
И из первого
Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.
Пример 6. Прямоугольная полка весом Р удерживается в гори-зонтальном положении двумя стержнями СЕ и СD , прикреплён-ными к стене в точке Е . Стержни одинаковой длины, AB = 2a , EO = a . Определим усилия в стержнях и ре-акции петель А и В .
Рис.46
Рассматриваем равновесие плиты. Строим расчётную схему (рис.46). Реакции петель принято показывать двумя силами перпенди-кулярными оси петли: .
Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в про-странстве. Можем составить 6 уравнений. Неизвестных - тоже шесть.
Какие уравнения составлять - надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в них было поменьше неизвестных.
Составим такие уравнения:
Из уравнения (1) получим: S 1 =S 2 . Тогда из (4): .
Из (3): Y A =Y B и, по (5), . Значит Из уравнения (6), т.к. S 1 =S 2 , следует Z A =Z B . Тогда по (2) Z A =Z B =P/4.
Из треугольника , где , следует ,
Поэтому Y A =Y B =0,25P, Z A =Z B 0,25P.
Для проверки решения можно составить ещё одно уравнение и по-смотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций:
Задача решена правильно.
Если система сил находится в равновесии, то ее главный вектор и главный момент равны нулю:
Эти векторные равенства приводят к следующим шести скалярным равенствам:
которые называются условиями равновесия пространственной произвольной системы сил.
Первые три условия выражают равенство нулю главного вектора, следующие три - равенство нулю главного момента системы сил.
В этих условиях равновесия должны учитываться все действующие силы - как активные (задаваемые), так и реакции связей. Последние заранее неизвестны, и условия равновесия становятся уравнениями для определения этих неизвестных - уравнениями равновесия.
Поскольку максимальное число уравнений равно шести, то в задаче на равновесие тела под действием произвольной пространственной систе-мы сил можно определить шесть неизвестных реакций. При большем количестве неизвестных задача становится статически неопределенной.
И еще одно замечание. Если главный вектор и главный момент относительно некоторого центра О равны нулю, то они будут равны нулю относительно любого другого центра. Это прямо следует из материала о перемене центра приведения (доказать самостоятельно). Следовательно, если условия равновесия тела выполняются в одной системе координат, то они будут выполняться и в любой другой неподвижной системе координат. Иными словами, выбор координатных осей при составлении уравнений равновесия совершенно произволен.
Прямоугольная плита (рис. 51, а) весом удерживается в горизонтальном положении сферическим шарниром О, подшипником А и тросом BE, причем точки находятся на одной вертикали. В точке D к плите приложена сила , перпендикулярная стороне OD и наклоненная к плоскости плиты под углом 45°. Определить натяжение троса и реакции опор в точках Он А, если и .
Для решения задачи рассматриваем равновесие плиты. К активным силам Р, G добавляем реакции связей - составляющие реакции сферического шарнира, реакции , подшипника, реакцию троса. Одновременно вводим координатные оси Oxyz (рис. 51, б). Видно, что полученная совокупность сил образует произвольную пространственную систему, в которой силы неизвестны.
Для определения неизвестных составляем уравнения равновесия.
Начинаем с уравнения проекций сил на ось :
Поясним определение проекции вычисление осуществляется в два приема- вначале определяется проекция силы Т на плоскость , далее, проектируя на осъ х (удобнее на ось , параллельную ), находим (см. рис. 51,б):
Этим способом двойного проектирования удобно пользоваться, когда линия действия силы и ось не пересекаются. Далее составляем:
Уравнение моментов сил относительно оси имеет вид:
Моменты сил в уравнении отсутствуют, так как эти силы либо пересекают ось х(), либо ей параллельны . В обоих этих случаях момент силы относительно оси равен нулю (см. с. 41).
Вычисление момента силы часто облегчается, если силу разложить подходящим образом на составляющие и воспользоваться теоремой Вариньона. В данном случае это удобно сделать для силы . Разлагая ее на горизонтальную и вертикальную составляющие, можем написать.
Аналитическая запись условий равновесия произвольной пространственной системы сил представляет систему шести уравнений (5.3).
С механической точки зрения первые три уравнения устанавливают отсутствие поступательного, а последние три − углового перемещения тела. В случае ССС условия равновесия будут представлены системой первых трех уравнений. В случае системы параллельных сил система будет состоять также из трех уравнений: из одного уравнения суммы проекций сил на ту ось, параллельно которой ориентированы силы системы, и двух уравнений моментов относительно осей, непараллельных линиям действия сил системы.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА
Центром тяжести твердого тела называется точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела, при любом его расположении в пространстве.
Координаты центра тяжести, точки C (рис. 6.3) можно определить по следующим формулам:
Ясно, что чем мельче разбиение, тем точнее будет проведен расчет по формулам (6.7), (6.8). Однако при этом трудоемкость вычислений может быть достаточно большой. В инженерной практике применяются формулы определения центра тяжести тел правильной формы.
КИНЕМАТИКА
ЛЕКЦИЯ 6.
Кинематикой называют раздел механики, в котором рассматривают движение тел и
Точек без учета сил, приложенных к ним.
6.1. Способы задания движения точки
Рассматривать движение тел или точек можно только относительно какой- либо системы отсчета – реального или условного тела, относительно которого определяют положение и движение других тел.
Рассмотрим три, наиболее используемые при решении задач, системы отсчета и, соответствующие им, три способа задания движения точки. Их характеристика сводится к: а) описанию самой системы отсчета; б) определению положения точки в пространстве; в) указанию уравнений движения точки; г) установлению формул, по которым могут быть найдены кинематические характеристики движения точки.
Векторный способ
Данный способ используют, как правило, при выводе теорем и других теоретических положений. Его преимущество перед другими способами – компактность записи. В качестве системы отсчета в этом способе выступает центр О с тройкой единичных векторов – i, j, k (рис. 8.1). Положение в пространстве произвольной точки М определяется посредством радиуса-вектора, r. Таким образом, уравнением движения точки M будет однозначная функция радиуса-вектора от времени, t :
Сравнивая последние два определения, можно заключить, что траектория точки является одновременно годографом ее радиуса-вектора.
Введем понятие средней скорости, V ср (рис. 8.1):
и истинной (мгновенной) скорости, V:
Направление V совпадает с касательной, к траектории точки (рис. 8.1).
Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая изменение скорости точки:
Естественный способ
ная зависимость между S и временем, t , представляет собой уравнение движения точки в естественном способе задания движения:
Скорость точки, направленная по оси t , определяется как:
Ускорение точки, а, находится в плоскости nt и может быть разложено на составляющие:
Физический смысл этого разложения заключается в следующем: линия действия касательной составляющей, а t , совпадает с линией действия вектора скорости, V , и отражает изменение только модуля скорости; нормальная составляющая ускорения, а n , характеризует изменение направления линии действия вектора скорости. Их численные значения могут быть найдены по следующим формулам:
| где | – радиус кривизны траектории в данной точке. |
Координатный способ
Этот способ наиболее часто используют при решении задач. Системой отсчета является тройка взаимно перпендикулярных осей x , y , z (рис. 8.3). Положение точки М определяется ее координатами x М , y М , z М .
Уравнения движения точки представляют собой однозначные функции этих координат от
а ее модуль:
Направление вектора скорости в пространстве можно аналитически определить с помощью направляющих косинусов:
Ускорение точки М можно установить по его проекциям на координатные оси:
Направление вектора ускорения в пространстве определяется направляющими косинусами.
Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий действия сил системы. Проецируем все силы на оси координат и суммируем соответствующие проекции (рис. 7.4). Получим проекции равнодействующей на оси координат:
Модуль равнодействующей системы сходящихся сил определим по формуле
Направление вектора равнодействующей определяется углами
Произвольная пространственная система сил
Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О.
Дана пространственная система сил (рис. 7.5, а). Приведем ее к центру О.
Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образуется система пар сил. Момент каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения.
В центре приведения возникает пучок сил, который может быть заменен суммарной силой (главный вектор) F ГЛ (рис. 7.5, б).
Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы М гл (главный момент).
Таким образом, произвольная пространственная система сил приводится к главному вектору и главному моменту.
Главный вектор принято раскладывать на три составляющие, направленные вдоль осей координат (рис. 7.5, в).
Обычно суммарный момент раскладывают на составляющие: три момента относительно осей координат.
Абсолютное значение главного вектора (рис. 7.5б) равно
Абсолютное значение главного момента определяется по формуле.
Уравнения равновесия пространственной системы сил
При равновесии F гл = 0; М гл = 0. Получаем шесть уравнений равновесия:
Шесть уравнений равновесия пространственной системы сил соответствуют шести независимым возможным перемещениям тела в пространстве: трем перемещениям вдоль координатных осей и трем вращениям вокруг этих осей.
Примеры решения задач
Пример 1. На тело в форме куба с ребром а = 10 см действуют три силы (рис. 7.6). Определить моменты сил относительно осей координат, совпадающих с ребрами куба.
Решение
1. Моменты сил относительно оси Ох:
2. Моменты сил относительно оси Оу.
Пример 2. На горизонтальном валу закреплены два колеса, г 1 = 0,4 м; г 2 = 0,8 м. Остальные размеры - на рис. 7.7. К колесу 1 приложена сила F 1 , к колесу 2 - силы F 2 = 12 кН, F 3 = 4кН.
Определить силу F 1 и реакции в шарнирах А и В в состоянии равновесия.
Напомним:
1. При равновесии выполняются шесть уравнений равновесия.
Уравнения моментов следует составлять относительно опор А и В.
2. Силы F 2 \\Ox ; F 2 \\Oy; F 3 \\Oy.
Моменты этих сил относительно соответствующих осей равны нулю.
3. 
Расчет следует завершить проверкой, использовав дополнительные уравнения равновесия.
Решение
1. Определяем силу F\, составив уравнение моментов сил относительно оси Oz:
2. Определяем реакции в опоре А. На опоре действуют две составляющие реакции (Y A ; X A ).
Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох" (в опоре В).
Поворот вокруг оси Ох" не происходит:
Знак «минус» означает, что реакция направлена в противоположную сторону.
Поворот вокруг оси Оу" не происходит, составляем уравнение моментов сил относительно оси Оу" (в опоре В):
3.Определяем реакции в опоре В. На опоре действуют две составляющие реакции (X B , Y B ). Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох (опора А):
Составляем уравнение моментов относительно оси Оу (опора А):
4.Проверка. Используем уравнения проекций:
Расчёт выполнен верно.
Пример 3. Определить численное значение силы P 1 , при котором вал ВС (рис. 1.21, а) будет находиться в равновесии. При найденном значении силы Р 1 определить опорные реакции.
Действующие на зубчатые колеса силы Р
и Р 1
направлены по касательным к начальным окружностям колес; силы Т
и Т 1
- по радиусам колес; силы А 1
параллельны оси вала. Т = 0,36Р, 7Т 1 = Р 1 ; А 1 = 0,12P 1 .
Решение
Опоры вала, изображенные на рис. 1.21, а, надо рассматривать как пространственные шарнирные опоры, препятствующие линейным перемещениям в направлениях осей и и v (выбранная система координат показана на рис. 1.21, б ).
Освобождаем вал от связей и заменяем их действие реакциями V В, Н В, V C , Н С (рис. 1.21, б ). Получили пространственную систему сил, для которой составляем уравнения равновесия, пользуясь выбранной системой координат (рис. 1.21,6):
где А 1 *1,25D/2 - момент относительно оси и силы A 1 , приложенной к правому зубчатому колесу.
Моменты относительно оси и сил Т 1 и А 1 (приложенных к среднему зубчатому колесу), Р 1 (приложенной к правому зубчатому колесу) и Р равны нулю, так как силы Р, T 1 , Р 1 параллельны оси и, а сила А 1 пересекает ось и.
откуда V С = 0,37P;
откуда V B =0,37P.
следовательно, реакции V B и V С определены верно;
где А 1 * 1,25D/2 - момент относительно оси v силы А 1 , приложенной к среднему зубчатому колесу.
Моменты относительно оси v сил Т, Р 1 (приложенной к среднему зубчатому колесу), А 1 и Т 1 (приложенных к правому зубчатому колесу) равны нулю, так как силы Т, Р 1 , Т 1 параллельны оси v, сила А 1 пересекает ось v.
откуда H C = 0,81Р;
откуда H С = 1,274Р
Составим проверочное уравнение:
следовательно, реакции Н В и Н С определены верно.
В заключение отметим, что опорные реакции получились со знаком плюс. Это указывает на то, что выбранные направления V B , Н В, V C и Н С совпадают с действительными направлениями реакций связей.
Пример 4.
Сила давления шатуна парового двигателя Р = 25 кН передается на середину шейки коленчатого вала в точке D
под углом α
= 30° к горизонту при вертикальном расположении щек колена (рис. 1.22). На конец вала насажен шкив ременной передачи. Натяжение ведущей ветви ремня в два раза больше, чем ведомой, т.е. S 1 = 2S 2 . Сила тяжести маховика G = 10 кН.
Определить натяжения ветвей ременной передачи и реакции подшипников А и В, пренебрегая массой вала.
Решение
Рассматриваем равновесие горизонтального коленчатого вала со шкивом. Прикладываем в соответствии с условием задачи заданные силы Р, S 1 , S 2 иG . Освобождаем вал от опорных закреплений и заменяем их действие реакциями V A , Н А, V B и Н В. Координатные оси выбираем так, как показано на рис. 1.22. В шарнирах А и В не возникает реакций вдоль оси w, так как натяжение ветвей ремня и все остальные силы действуют в плоскостях, перпендикулярных этой оси.
Составим уравнения равновесия:
Кроме того, по условию задачи имеем еще одно уравнение
Таким образом, здесь имеется шесть неизвестных усилий S 1, S 2 , Н А, V A , Н В иV B и шесть связывающих их уравнений.
Уравнение проекций на ось w в рассматриваемом примере обращается в тождество 0 = 0, так как все силы лежат в плоскостях, перпендикулярных оси w.
Подставляя в уравнения равновесия S 1 =2S 2 и решая их, находим:
Значение реакции Н В получилось со знаком минус. Это значит, что в действительности ее направление противоположно принятому на рис. 1.22.
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил.
2. Запишите формулу для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил.
3. Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил.
4. Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил.
5. Какое из уравнений равновесия нужно использовать для определения реакции стержня R 1 (рис. 7.8)?
6. Определите главный момент системы сил (рис. 7.9). Точка приведения - начало координат. Координатные оси совпадают с ребрами куба, ребро куба равно 20 см;F 1 - 20кН;F 2 - 30кН.
7. Определите реакцию Хв (рис. 7.10). Вертикальная ось со шкивом нагружена двумя горизонтальными силами. Силы F 1 и F 2 параллельны осиОх. АО = 0,3 м; ОВ = 0,5 м; F 1 = 2кН; F 2 = 3,5 кН.
 |
Рекомендация. Составить уравнение моментов относительно оси Оу" в точке А.
8. Ответьте на вопросы тестового задания.