Элементы теории массового обслуживания. Марковские случайные процессы Дискретные марковские процессы примеры

и условию и 2 ( Т, x ) = 0.

Пусть тt - момент первого достижения границы дD области траекторией процесса Тогда при нек-рых условиях функция

удовлетворяет уравнению

и принимает значения ср на множестве

Решение 1-й краевой задачи для общего линейного параболич. уравнения 2-го порядка

при довольно общих предположениях может быть записано в виде

В случае, когда Lи функции с, f не зависят от s, аналогичное (9) представление возможно и для решения линейного эллиптич. уравнения. Точнее, функция

при нек-рых предположениях есть задачи

В случае, когдгг оператор Lвырождается (del b(s, х ) = 0 ).или дD недостаточно "хорошая", граничные значения могут и не приниматься функциями (9), (10) в отдельных точках или на целых множествах. Понятие регулярной граничной точки для оператора L имеет вероятностную интерпретацию. В регулярных точках границы граничные значения достигаются функциями (9), (10). Решение задач (8), (11) позволяет изучать свойства соответствующих диффузионных процессов и функционалов от них.

Существуют методы построения М. п., не опирающиеся на построение решений уравнений (6), (7), напр. метод стохастических дифференциальных уравнений, абсолютно непрерывная замена меры и др. Это обстоятельство вместе с формулами (9), (10) позволяет вероятностным путем строить и изучать свойства краевых задач для уравнения (8), а также свойства решении соответствующего эллиптич. уравнения.

Так как решение стохастического дифференциального уравнения нечувствительно к вырождению матрицы b(s, x ), то вероятностные методы применялись для построения решений вырождающихся эллиптических и параболических дифференциальных уравнений. Распространение принципа усреднения Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова на стохастические дифференциальные уравнения позволило с помощью (9) получить соответствующие результаты для эллиптических и параболических дифференциальных уравнений. Нек-рые трудные задачи исследования свойств решений уравнений такого типа с малым параметром при старшей производной оказалось возможным решить с помощью вероятностных соображений. Вероятностный смысл имеет и решение 2-й краевой задачи для уравнения (6). Постановка краевых задач для неограниченной области тесно связана с возвратностью соответствующего диффузионного процесса.

В случае однородного по времени процесса (Lне зависит от s) положительное решение уравнения с точностью до мультипликативной постоянной совпадает при нек-рых предположениях со стационарной плотностью распределения М. п. Вероятностные соображения оказываются полезными и при рассмотрении краевых задач для нелинейных параболич. уравнений. Р. 3. Хасьминский.

Лит. : Марков А. А., "Изв. физ.-мат. об-ва Казан. ун-та", 1906, т. 15, №4, с. 135-56; В а с h e l i е r L., "Ann. scient. Ecole norm, super.", 1900, v. 17, p. 21-86; Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415- 458; рус. пер.-"Успехи матем. наук", 1938, в. 5, с. 5-41; Ч ж у н К а й - л а й, Однородные цепи Маркова, пер. с англ., М., 1964; Р е 1 1 е r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, p. 417-36; Д ы н к и н Е. Б., Ю ш к е в и ч А. А., "Теория вероятн. и ее примен.", 1956, т. 1, в. 1, с. 149-55; X а н т Дж.-А., Марковские процессы и потенциалы, пер. с англ., М., 1962; Д е л л а ш е р и К., Емкости и случайные процессы, пер. с франц., М., 1975; Д ы н к и н Е. В., Основания теории марковских процессов, М., 1959; его же, Марковские процессы, М., 1963; Г и х м а н И. И., С к о р о х о д А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; Фрейдлин М. И., в кн.: Итоги науки. Теория вероятностей, - важный специальный вид случайных процессов. Примером марковского процесса может служить распад радиоактивного вещества, где вероятность распада данного атома за малый промежуток времени не зависит от течения процесса в предшествующий период.… … Большой Энциклопедический словарь

Марковский процесс случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временного параметра не зависит от эволюции, предшествовавшей, при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано («будущее» процесса не… … Википедия

Марковский процесс - 36. Марковский процесс Примечания: 1. Условную плотность вероятности называют плотностью вероятности перехода из состояния xn 1в момент времени tn 1 в состояние хпв момент времени tn. Через нее выражаются плотности вероятностей произвольного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

марковский процесс - Markovo procesas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Markovprocess vok. Markovprozeß, m rus. марковский процесс, m; процесс Маркова, m pranc. processus markovien, m … Automatikos terminų žodynas

марковский процесс - Markovo vyksmas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Markov process; Markovian process vok. Markow Prozeß, m; Markowscher Prozeß, m rus. марковский процесс, m; процесс Маркова, m pranc. processus de Markoff, m; processus marcovien, m;… … Fizikos terminų žodynas

Важный специальный вид случайных процессов. Примером Марковского процесса может служить распад радиоактивного вещества, где вероятность распада данного атома за малый промежуток времени не зависит от течения процесса в предшествующий период.… … Энциклопедический словарь

Важный специальный вид случайных процессов (См. Случайный процесс), имеющих большое значение в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Примером М. п. может служить распад радиоактивного вещества.… … Большая советская энциклопедия

Выдающееся открытие в области математики, сделанное в 1906 русским ученым А.А. Марковым.

В последние годы широкое распространение получили ме­тоды статистического анализа, оценивания и оптимального управ­ления стохастическими системами, основанные на использовании результатов теории марковских процессов. В данном разделе рас­сматривается применение методов теории марковских процессов для статистического анализа линейных и нелинейных стохастиче­ских систем.

Уравнение Фоккера - Планка - Колмогорова. В теории мар­ковских процессов получены дифференциальные уравнения в част­ных производных параболического типа для условной (переходной) и безусловной плотностей распределения ве­роятностей непрерывного марковского процесса x(t). Применитель­но к скалярному марковскому процессу x(t) уравнение для плот­ности , называемое уравнением Фоккера - Планка - Кол­могорова (ФПК), имеет вид

Функции а(х, t) и b(x, t) называют соответственно коэффициен­тами сноса и диффузии марковского процесса x(t).

В многомерном случае уравнение ФПК для векторного марковского процесса x(t), состоящего из п компонент , записывается следующим образом:

где - вектор коэффициентов сноса; -матрица коэффициентов диффузии векторного процесса x(t).

Интегрируя уравнение ФПК при заданном начальном условии , можно определить плотность распределения вероят­ностей рассматриваемого марковского процесса в последую­щие моменты времени.

Стохастические дифференциальные уравнения. Среди различных непрерывных марковских процессов в практических задачах осо­бенно большое значение имеют так называемые диффузионные марковские процессы, изменение которых во времени описывается дифференциальными уравнениями вида

где -стандартный белый шум.

Такие уравнения называют стохастическими дифференциальны­ми уравнениями.

Уравнение вида (2.53) можно записать непосредственно для изу­чаемой динамической системы, если случайное входное воздействие этой системы действительно может быть аппроксимировано стан­дартным белым шумом. Например, одномерной системе, состоящей из интегрирующего звена 1/p, охваченного нелинейной обратной связью f(x), подверженной воздействию белого шума на вхо­де, соответствует стохастическое дифференциальное уравнение пер­вого порядка

Используя метод формирующих фильтров, к виду (2.53) можно привести уравнения, описывающие поведение систем, подвержен­ных воздействию окрашенных шумов.

Пример. Пусть исследуемая динамическая система описывается передаточ­ной функцией апериодического звена

Внешнее воздействие -случайный процесс со спектральной плотностью

Коэффициент усиления К является гауссовской случайной величиной, харак­теризуемой параметрами m k и D k .

Чтобы описать эту систему стохастическим дифференциальным уравнением, перепишем соотношение (2.54) в виде дифференциального уравнения в нормаль­ной форме:

Последнее уравнение объединим с уравнением формирующего фильтра для , полученные ранее [см. формулу (2.30")].

и уравнением формирующего фильтра для случайного параметра

В результате получим стохастическое дифференциальное уравнение вида (2.53), описывающее рассматриваемую динамическую систему, в котором векторный случайный процесс x(t), объединяющий в качестве составляющих переменные у, x 1 и К, есть диффузионный марковский процесс. Компоненты вектор-функции f T (x, t) - n в данном случае равны

Белый шум является скалярным случайным процессом, поскольку в; правые части уравнений (2.56) и (2.57) входит одно и то же внешнее случай­ное воздействие, а

Возникает вопрос, как выражаются коэффициенты сноса а(х, t) и диффузии b(x, t), входящие в уравнение ФПК (2.51) или (2.52),. описывающие изменение плотности р(х, t) распределения вероят­ностей диффузионного марковского процесса x(t), через f(x, t) и ? В зависимости от ответа на этот вопрос различают сто­хастические дифференциальные уравнения Ито и Стратоновича_ В уравнении Ито в скалярном случае коэффициенты сноса и диф­фузии соответственно равны f(x, t) и . Для стохастического дифференциального уравнения Стратоновича эти коэффициенты определяются соотношениями *(* Диментберг М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических коле­баний. М.: Наука, 1980. 368 с.)

Конкретный вариант используемой интерпретации стохастиче­ского дифференциального уравнения зависит от особенностей ана­лизируемой физической системы.

В рассматриваемом далее в данной главе наиболее широко рас­пространенном случае, когда не зависит от х, флуктуационная поправка к коэффициенту сноса, возникающая при рассмотре­нии стохастического дифференциального уравнения Стратоновича, обращается в нуль и обе интерпретации приводят к одним и тем же результатам.

Интегрировать аналитически и даже численно уравнение в част­ных производных параболического типа, каким является уравнение ФПК трудно, особенно в тех случаях, когда размерность вектора х велика. Только в одномерном и в отдельных двумерных случаях удается найти аналитическое решение этого уравнения, соответст­вующего стохастическому дифференциальному уравнению нелиней­ной системы. Однако каждое такое решение представляет большой интерес, поскольку оно является наиболее полной характеристикой точности системы, позволяющей оце­нить точность решений, полученных с помощью приближенных методов - расчета, например, с помощью ме­тода статистической линеаризации.

Рис. 2.1. Нелинейная система первого порядка.

Так, стационарным решением уравнения ФПК, соответствующего нелинейной системе первого порядка, показанной на рис. 2.4, для р(х, ∞)=р ст (х) является выражение

в котором постоянная интегрирования С выбирается из условия нормировки . В случае стационарной линейной системы при f(x). = - х из (2.60) получаем гауссовскую плотность . Если в обратной связи стоит реле с уровнем насыщения А, то

Плотности (2.61) соответствуют и .

Уравнения для моментов диффузионного процесса. Основным применением уравнения ФПК при априорном анализе точности си­стем является получение с его помощью обыкновенных дифферен­циальных уравнений для вектора математических ожиданий m x (t) и корреляционной матрицы K x (t) фазового вектора диффузионной марковской системы. Эти уравнения оказываются точными, если стохастическое дифференциальное уравнение (2.53) - линейное, и приближенными в случае нелинейного уравнения (2.53).

Чтобы получить из уравнения ФПК уравнения для и в случае, когда x(t) -скалярный процесс, умножим (2.51) на х и про­интегрируем обе части по этой переменной в бесконечных пределах. Тогда получим

Слева в уравнении (2.62) имеем

а интеграл справа вычисляем, применяя метод интегрирования по частям и учитывая граничные условия . Окончательный результат оказывается следующим:

Уравнение для дисперсии D x получают, умножив левую и пра­вую части (2.51) на и проинтегрировав их по перемен­ной х в бесконечных пределах. В итоге имеем

Соотношениями (2.64) - (2.65) устанавливается связь между производными по времени от m x и D x диффузионного процесса x(t) и его плотностью распределения р(х, t). Из них нельзя найти m x (t) и D x (t), если плотность р(х, t) неизвестна.

Уравнения для моментов в линейной системе. Если коэффициент сноса f(x, t) в правой части стохастического дифференциального уравнения (2.57) - линейный относительно х, т. е. f(x,t)=a(t)x + b(t), то соотношения (2.64) и (2.65) превращаются в уравнения относительно m x и D x , т. е. становятся замкнутыми. Действительно, в этом случае

поэтому для линейной марковской системы первого порядка

Интегрирование уравнений (2.66) и (2.67) при заданных на­чальных условиях m x (t 0) и D x (t 0) позволяет определить m x (t) и D x (t).

Если рассматриваемая система - стационарная и устойчивая, а искомыми являются m x и D x в установившемся режиме, то эти величины можно найти из алгебраических уравнений

поскольку в установившемся режиме для такой системы и

В многомерном случае уравнения для т х и К х оказываются сле­дующими:

Векторное уравнение (2.69) размерности п совместно с матрич­ным уравнением (2.70) размерности п×п называют корреляцион­ной системой уравнений. Системы (2.69) и (2.70) не зависят друг от друга, поэтому их можно интегрировать раздельно. Учитывая симметричность матрицы К х, Для ее определения достаточно про-янтегрировать п(п+1)/2 уравнений относительно различных кова­риационных моментов К х. Начальными условиями для (2.69) и (2.70) являются вектор математических ожиданий m x (t 0) и корре­ляционная матрица К х (t 0) фазового вектора x(t 0) в начальный мо­мент времени.

Если исследуемая линейная марковская система - стационар­ная и устойчивая, а искомыми являются т х и К х в установившемся режиме, то их можно найти из систем алгебраических уравнений

Одним из способов решения может служить интегрирование соответствующих им систем дифференциальных уравнений (2.69) и (2.70) при произвольно заданных начальных условиях. Сходи­мость решения обеспечивается устойчивостью исследуемой динами­ческой системы.

Приближенные уравнения для определения моментов диффузи­онного процесса в нелинейной системе. Для получения приближен­ной замкнутой системы уравнений из (2.64) и (2.65) в общем слу­чае нелинейного коэффициента сноса f(x, t) предположим, что плотность р(х, t) распределения вероятностей фазового вектора гауссовская. При р(х, t) =p Г (x, t) интегралы в правых частях соот­ношений (2.64) и (2.65) можно вычислить. Результирующие функции зависят от m x (t) и D x (t), описывающих p Г (x, t):

Подставив (2.73) и (2.74) в (2.64) и (2.65), получим систему из двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

Интегрирование этой системы при заданных m x (t 0) и D x (t 0) позво­ляет найти m x (t) и D x (t), т. е. решить приближенно задачу стати­стического анализа рассматриваемой нелинейной системы. Для «типовых» нелинейностей f(x) формулы для f 0 (m x , D x) и K(m x , D x) могут быть взяты из таблиц выражений коэффициентов статисти­ческой линеаризации.

Пример. Пусть f(x) в (2.53)-релейная характеристика f(x)= -A sign (x).

Для этой нелинейности f (см. пример в разд. 1.1) и

Уравнеиия для m x и D x в такой системе имеют вид

Установившиеся значения и получаем, положив и .

Имеем . Сравнивая приближенное значение с точным, полученным ранее путем решения уравнения ФПК значением, видим, что предположение о гауссовском распределении р(х) в рассматриваемой нелиней­ной системе с реле в обратной связи приводит к ошибке в дисперсии, рав­ной 22%.

В многомерном случае вектор m x (t) и корреляционную матрицу K x (t) можно найти в результате совместного интегрирования двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Матричная функция, элементами которой являются частные производные от составляющих вектор-функции по компонентам вектора т х.

Если в состав исследуемой системы входят только линейные звенья и типовые одномерные существенные нелинейности, то кор­реляционную систему вида (2.76) удобно составить, применяя со­вместно статистическую линеаризацию нелинейных звеньев и кор­реляционную систему уравнений (2.69) - (2.70) для статистически линеаризованной системы.

Когда управляемое движение летательного аппарата описыва­ется нелинейными стохастическими дифференциальными уравне­ниями, правые части которых содержат гладкие многомерные не­линейности, приближенный анализ точности такого движения значительно упрощается по сравнению с непосредственным исполь­зованием уравнений (2.76), если пользоваться так называемой ква­зилинейной корреляционной системой уравнений. При составлении такой системы полное движение исследуемой системы разбивается на два движения: среднее и возмущенное. Для описания среднего движения, характеризующего изменение математических ожиданий составляющих фазового вектора, используются нелинейные урав­нения системы при математических ожиданиях (средних значениях) начальных условий и внешних воздействий. Для описания возму­щенного движения, характеризующего случайные отклонения со­ставляющих фазового вектора от их средних значений, применяют­ся линеаризованные уравнения, причем в качестве опорных значе­ний при линеаризации берутся математические ожидания фазовых координат в соответствующие моменты времени.

Пример. Рассмотрим задачу баллистического спуска летательного аппарата, т. е. спуска с нулевой подъемной силой, в атмосфере Земли. Продольное дви­жение аппарата описывается нелинейными дифференциальными уравнениями

Требуется оценить рассеивание траекторий аппарата, предполагая случайными переменные V, θ, Н и L в момент t 0 начала спуска; постоянными величины R, С х, S, т и g, а зависимость -показательной вида , где .

Перепишем уравнения движения аппарата в виде векторного уравнения

Представим фазовый вектор х в виде х=т х +Δх, а нелинейную вектор-функ­цию f(x, t) линеаризуем в окрестности х=т х:

где -матрица 4×4 частных производных вектор-функции f(x, t) по составляющим вектора х, вычисленная при х=т х. Получаем уравнение

из которого в результате усреднения непосредственно находим уравнение для вектора математических ожиданий

по виду совпадающие с (2.77). Вычтя (2.79) из (2.78), получаем линеаризован­ное уравнение возмущенного движения

на основе которого составляем уравнение для корреляционной матрицы фазо­вого вектора

Совместное интегрирование уравнений (2.80) и (2.81), в совокупности образу­ющих квазилинейную корреляционную систему уравнений, при заданных на­чальных условиях т х (t 0) и K x (t 0) позволяет определить т х (t) и Kx(t) в по­следующие моменты времени. Точность решения определяется точностью аппрок­симации вектор-функции линеаризованной зависимостью при тех значениях слу­чайных отклонений Δx (t) фазового вектора x(t), которые имеют место в рас­сматриваемой задаче при заданных статистических характеристиках случайных, начальных условий.

2.6. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ (МОНТЕ-КАРЛО)

Метод статистического моделирования - универсальный метод статистического анализа стохастических систем (линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных), подверженных воз­действию случайных факторов различных типов с произвольными их статистическими свойствами. В литературе данный метод также называют методом статистических испытаний или методом Монте-Карло.

Основу метода статистического моделирования составляет закон больших чисел, заключающийся в том, что результат усреднения, относящийся к случайному фактору (событию, величине, процессу или полю), вычисленный по п его реализациям, при перестает быть случайным и может рассматриваться в качестве оценки соответствующей характеристики рассматриваемого фактора. В част­ности, в соответствии с теоремой. Бернулли при большом числе опытов (реализаций) частота случайного события приближается к вероятности этого события. Аналогичные теоремы существуют и для статистических характеристик случайных величин, процессов, полей.

Применительно к априорному анализу точности стохастических систем метод статистического моделирования заключается в про­ведении на ЭВМ статистических экспериментов, имитирующих функционирование исследуемой системы при действии случайных факторов, и в последующей обработке полученных в этих экспери­ментах результатов с помощью методов математической статистики для определения соответствующих статистических характеристик.

Методика статистического моделирования. Первым этапом под­готовки к статистическому моделированию стохастической системы является выбор типа ЭВМ (ЦВМ, АВМ или аналого-цифрового комплекса), на которой целесообразно проводить моделирование. При этом учитываются сложность исследуемой системы, характер и число нелинейностей в ней, скорость протекания процессов в раз­личных частях (звеньях) системы, тип и характеристики действую­щих на систему случайных возмущений и другие факторы.

Выясняется возможность использования канонических разложе­ний случайных процессов, действующих на исследуемую систему. Если такие разложения известны для всех случайных функций, рас­сматриваемых в системе, моделирование системы можно заметно упростить, поскольку в этом случае при моделировании требуется получать реализации только случайных величин (начальных ус­ловий, параметров системы и коэффициентов канонических разло­жений).

Более общей и сложной является ситуация, когда в число воз­мущений системы входят случайные процессы, для которых канони­ческие разложения не известны. В этом случае описывающие ис­следуемую динамическую систему уравнения сводятся к системе стохастических дифференциальных уравнений в нормальной форме вида

где λ - вектор случайных параметров системы; - векторный белый шум. Вектор начальных условий x(t 0) также может быть случайным.

Некоторые из действующих на систему случайных возмущений могут оказаться не белым шумом. Для таких процессов требуется составить дифференциальные уравнения формирующих фильтров. Эти уравнения при моделировании следует интегрировать совмест­но с уравнениями системы (2.82).

Далее составляется программа интегрирования на ЦВМ систе­мы (2.82) совместно с уравнениями формирующих фильтров или схема моделирования для АВМ. Характерными элементами про­граммы являются блоки, обеспечивающие получение реализаций случайных факторов, рассматриваемых в системе.

Получение на ЭВМ реализаций случайных величин. При моде­лировании задачи на АВМ, а иногда и на ЦВМ реализации случай­ных величин задают с помощью таблиц случайных чисел. Наиболь­шее распространение получили таблицы случайных чисел, подчи­няющихся нормальному (гауссовскому) и равномерному распре­делениям. Таблица нормально распределенных случайных чисел содержит реализации гауссовской случайной величины соответствующие и .Беря числа из этой табли­цы, реализации гауссовской случайной величины с характери­стиками и вычисляют по формуле

Таблица равномерно распределенных чисел содержит реализа­ции подчиняющиеся равномерному на интервале распределению вероятностей. Для получения реализаций величи­ны х, распределенной равномерно на интервале числа , взятые из таблицы, преобразуют с помощью соотношения

Основным способом получения реализаций случайных величин на ЦВМ является использование специальных стандартных подпро­грамм, называемых датчиками псевдослучайных чисел. При каж­дом обращении к датчику в нем вычисляется новое случайное чис­ло. Расчет проводится с помощью рекуррентной формулы, аргумен­тами которой являются несколько случайных чисел, вычисленных при предыдущих обращениях к данной подпрограмме. При фикси­рованной начальной (стартовой) совокупности случайных чисел все рекуррентно вычисляемые датчиком последующие числа будут определенными, зависящими от стартовой совокупности, поэтому числа, получаемые с помощью датчика, называют псевдослучайны­ми. Рекуррентная формула, реализованная в датчике, подбирается так, чтобы псевдослучайные числа, получаемые с помощью датчика, обладали требуемыми статистическими свойствами - соответство­вали определенной плотности распределения вероятностей р(х), а коэффициент корреляции был равен нулю.

Как правило, в библиотеке стандартных подпрограмм ЦВМ при­сутствуют два датчика псевдослучайных чисел: равномерно распре­деленных на интервале и гауссовских с и .

Получение реализаций векторной гауссовской случайной вели­чины затруднений не вызывает, если этот вектор некоррелирован. Реализации отдельных компонент такого вектора можно рассчиты­вать с помощью датчика гауссовских чисел независимо друг от друга. Если же гауссовский вектор х коррелирован, его реализации получают путем линейного преобразования реализаций некоррели­рованного гауссовского вектора U той же размерности, формируе­мого с помощью датчика гауссовских псевдослучайных чисел. У вектора U математическое ожидание - нулевой вектор, а корре­ляционная матрица - единичная. Матрица линейного преобразова­ния А подбирается так, чтобы результирующая ковариационная матрица К х была равна заданной. При ее определении использу­ется соотношение (1.26).

При из (1.26) получаем следующее уравнение относи­тельно А:

Это уравнение имеет бесчисленное множество решений. Если искать А в виде треугольной матрицы вида

то из (2.83)получим n(n+1)/2 уравнений для элементов этой мат­рицы, которые можно решить рекуррентно. Результатом являются следующие выражения для элементов матрицы А:

где - элементы заданной корреляционной матрицы .

Пример. Пусть х - двумерный вектор с корреляционной матрицей

Найдем матрицу А, такую, что

где -некоррелированный вектор с .

С помощью соотношений (2.84) находим ац т. е.

В ряде случаев требуется получать реализации случайной вели­чины, распределение которой не является ни равномерным, ни га-уссовским. Наиболее распространенным способом моделирования в данном случае является нелинейное преобразование реализаций, получаемых с помощью датчика равномерно распределенных чисел.

Задача определения нелинейного преобразования y=f(x), свя­зывающего случайные величины х и у с заданными плотностями распределения р(х) и р(у) (плотность р(х) -равномерная), яв­ляется обратной по отношению к задаче определения распределе­ния нелинейной функции случайной величины, рассмотренной в разд. 1.1. Если распределение р(х) - равномерное, то из соотно­шения (1.32) имеем , откуда при монотонно возрастаю­щей функции получаем

где F (у) - интегральная функция распределения вероятностей ве­личины у.

Функция является обратной по отношению к искомой функции f(x). Таким образом, определение искомого нелинейного преобразования y = f(x) сводится к нахождению по заданной плот­ности р(у) интегральной функции F(y) и последующему решению уравнения F (у) =х относительно у.

Пример. Пусть

Тогда в интервале (0, 1) имеем xF(y)=y 2 , откуда ,т. е. .

Иной подход может быть применен в тех случаях, когда тре­буется получать реализации случайной величины у по имеющейся ее гистограмме или когда распределение р(у) имеет сложную фор­му, которую целесообразно аппроксимировать ступенчатой зависи­мостью.

Пусть интервал [у 0 , у п ] практически возможных значений слу­чайной величины у, имеющей распределение р(у), разбит на п уча­стков , в пределах каждого из которых плотность р(у) можно полагать равномерной. Вероятность попадания в каждый интервал

причем . При использовании такой аппроксимации р(у)

реализацию можно определить в результате двукратного обращения к датчику равномерно распределенных псевдослучай­ных чисел. При первом обращении разыгрывается исход попадания реализации y i в один из интервалов . Для этого вероятностям P l попадания y i в интервалы ставятся в соответствие интервалы значений равномерно распределенных псевдослучайных чи­сел из общего диапазона . Попаданию случайного числа х i р.р, получаемого в результате обращения к датчику, в интервал ставится в соответствие попадание реализации y i в интервал . При втором обращении к датчику разыгрывается значение реали­зации y i как случайной величины, распределенной равномерно в интервале .

Моделирование на ЭВМ реализаций случайных процессов. На АВМ реализации случайных процессов получают с помощью гене­раторов шума. Так называют электронный прибор, электрическое напряжение на выходе которого является случайным процессом с заданными статистическими характеристиками. Генераторы, ис­пользуемые при статистическом моделировании управляемого дви­жения летательных аппаратов, генерируют шум с равномерной спектральной плотностью в диапазоне инфранизких частот (от до Гц) и с гауссовским одномерным распределением вероятностей. При статистическом моделировании систем, по­лоса пропускания которых уже, чем , а именно такими, как правило, являются системы управления летательными аппаратами, шум генераторов можно считать белым. Окрашенные шумы, дей­ствующие на изучаемую систему, моделируют на АВМ путем про­пускания белого шума через соответствующим образом подобран­ный формирующий фильтр.

На ЦВМ белый шум моделируют, аппроксимируя его прибли­женно ступенчатым абсолютно случайным процессом x(t). Реали­зации последнего вычисляются по следующему правилу. Аргумент процесса - время t -изменяется дискретно с шагом Δt. В пределах каждого шага значение реализации задается заново с помощью датчика гауссовских псевдослучайных чисел

где В - постоянный множитель.

На всем интервале значение остается постоянным. Псевдо­случайные числа, получаемые при помощи датчика, попарно некоррелированы друг с другом. Следовательно, корреляция между зна­чениями ступенчатого процесса x(t) в различных интервалах и , отсутствует. Поэтому корреляционная функция данного процесса равна

При отношение . Следовательно, при достаточна малой величине интервала процесс x(t) с корреляционной функ­цией R x (t), определяемой соотношением (2.85), можно рассматри­вать в качестве приближенной аппроксимации белого шума с интенсивностью . Точность аппроксимации оказывается тем выше, чем меньше интервал .

При численном интегрировании стохастических дифференци­альных уравнений (2.82) на ЦВМ величина интервала , исполь­зуемого при моделировании белого шума , действующего на систему, не может быть задана меньше шага интегрирования . Следовательно, шаг численного интегрирования должен опре­деляться из условия

где - интервал, при котором ступенчатый абсолютно случайный процесс достаточно точно аппроксимирует белый шум; - шаг численного интегрирования, обеспечивающий приемлемую точность вычислений при избранном методе численного интегрирования си­стемы (2.82).

Эксперименты на ЦВМ показывают, что при всех методах чис­ленного интегрирования , поэтому для обеспечения аппрок­симации белого шума ступенчатым процессом интегрирование си­стемы (2.82) должно вестись с шагом

Среди всех методов численного интегрирования затраты машин­ного времени на один шаг интегрирования являются наименьшими при интегрировании по методу Эйлера:

Вследствие этого данный метод и следует использовать при ста­тистическом моделировании систем, беря , а коэффициент В рассчитывать по формуле

где - интенсивность белого шума, действующего на систему.

Проведение статистического моделирования и обработка его ре­зультатов. Составив программу моделирования исследуемой дина­мической системы на ЦВМ или набрав схему моделирования на АВМ, с их помощью получают необходимое число реализаций вы­ходных координат исследуемой системы. Обработка результатов^ моделирования может проводиться или при моделировании, или после его завершения с использованием методов математической: статистики . В зависимости от конкретной цели статистиче­ского моделирования результатами обработки могут быть оценки математических ожиданий, дисперсий, взаимных корреляционных моментов, корреляционных функций и других статистических ха­рактеристик выходных координат системы. Точность оценок будет тем выше, чем большее число реализаций будет статистически об­работано. Соотношения для расчета доверительных интервалов и доверительных вероятностей оценок различных параметров в зави­симости от числа реализаций, используемых для их получения, при­водятся в книгах .

Если исследуемая система и действующие на нее возмущения таковы, что рассматриваемая выходная переменная является эргодическим стационарным процессом, то при моделировании доста­точно ограничиться получением одной длинной реализации это» переменной. В иных случаях требуется получать и обрабатывать множество реализаций выходных координат.

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК СОСТОЯНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

3.1. ЗАДАЧА ОЦЕНИВАНИЯ КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Сформулируем задачу построения оценок. Рассмотрим случайный вектор X, плотность распределения которого имеет из­вестную математическую форму, но содержит некоторое число не­известных параметров. Задана выборка измеренных значений компонент этого вектора, в дальнейшем называемая вектором измере­ний У.

Если, например, измерены N раз т компонент n-мерного векто­ра X, то вектор Y будет включать N×m компонент. Вектор Y также является случайным, так как содержит так называемые ошибки из­мерения , плотность распределения которых считается известной. Требуется, используя вектор измерения У, получить оценки неиз­вестных параметров плотности распределения X и определить точ­ность этих оценок.

Важно уметь сравнивать свойства различных оценок одного и того же параметра и, в частности, находить оценки максимальной точности. Точность оценок определяем на основе статистических характеристик отклонений оценок от неизвестных «истинных значе­ний» оцениваемых параметров. Плотность распределения X, харак­теризуемую истинными значениями оцениваемых параметров, на­зываем «истинной».

Данная постановка задачи определения оценок называется ста­тистической и является в настоящее время наиболее широко рас­пространенной в технических задачах. В то же время существуют и другие постановки задач оценивания, когда нельзя сделать ника­ких предположений о распределении оцениваемой величины. По­добная ситуация рассматривается отдельно.

Вернемся к статистической задаче оценивания. Введем некото­рые определения.

Функцию значений оцениваемой величины, т. е. функцию изме­рений, в дальнейшем будем называть статистикой. Простейшей статистикой является, таким образом, сам вектор измерений У. Оценка случайного вектора X, полученная на основе измерений У, т. е. (Y), также является статистикой. Если статистика содержит.всю необходимую эмпирическую информацию для построения рас­пределения X, то она называется достаточной.

Если оценка сходится по вероятности к оцениваемой величи­не X при неограниченном возрастании объема выборки, т. е. раз­мерности вектора У, то она называется состоятельной.

Оценка вектора X -функция случай­ных аргументов. Поэтому для сравнения оценок между собой и вы­бора наилучшей необходимо рассматривать статистические харак­теристики функции потерь, так называемые функции риска.

Таких функций можно построить несколько. Наиболее употреби­тельные функции риска следующие.

1. Средний или априорный риск:

где р(х, у) -плотность совместного распределения вероятностей векторов X и У.

Интегрирование в (3.3) ведется по области всех возможных значе­ний X и У. В дальнейшем в подобных случаях не будем указывать пределов интегрирования; х я у - значения случайных векторов X и У. Записью (у) в (3.3) подчеркивает то обстоятельство, что оценка рассматривается как функция у. Если оценка (у) минимизирует функцию риска (3.3), то она называется оптимальной в смысле среднего риска. Средний риск (3.3) R( ) может быть представлен в виде

2. Байесовский риск:

где p(x/Y) -апостериорная плотность вероятностей значений X . при заданном (фиксированном) Y, р(х) -априорная плотность ве­роятностей вектора X, т. е. существующая до опыта, в котором реа­лизовался какой-то вектор у. Таким образом, байесовский риск в силу структуры формулы Байеса (1.9) зависит не только от оцен­ки, но и от априорной плотности вероятностей р(х), что и отражено в записи . Оценка , минимизирующая функцию риска (3.4), называется оптимальной в байесовском смысле или просто ^байесовской. Доказано , что для функции потерь вида (3.1) бай­есовская оценка минимизирует одновременно функции риска (3.3) и (3.4). Алгоритмы оценивания, обеспечивающие получение байесовских оценок, принято называть байесовскими.

3. Условный риск:

Эта функция риска характеризует ошибки оценки при заданном (фиксированном) значении оцениваемого вектора X. Между услов­ным и средним риском существует связь:

В (3.5) и (3.6) р(у/Х) и р(х) - соответственно условная плот­ность вероятностей вектора Y и априорная плотность вероятностей вектора X. На основе плотности вероятностей p(y/X) может быть построена оценка максимума правдоподобия. Это оценка, которая максимизирует так называемую функцию правдоподобия. В каче­стве функции правдоподобия в простейшем случае может быть вы­брана функция р(у/Х), в которую подставлены фактические значе­ния измерений у. Для построения р(у/Х) не обязательно знать вид плотности распределения р(х), т. е. вид априорной плотности веро­ятностей вектора X. X, X на множестве .

Можно также сказать, что минимаксная оценка является бай­есовской при априорном распределении X, являющемся наименее благоприятным для задачи оценивания. Поясним последнюю мысль-подробнее.

Байесовский риск может быть определен в том слу­чае, если известен вид априорной плотности вероятностей р(х) век­тора X, так как в силу (1.9) условная плотность вероятностей

где р(у) -плотность вероятностей вектора Y.

В том случае, когда плотность вероятностей р(х) не сущест­вует, можно условно поставить в соответствие каждому X из некоторое априорное распределение , принадлежащее некото­рому классу распределений .

Оказывается, для функции потерь вида (3.1) справедливо ра­венство :

т. е. минимаксная оценка тождественна байесовской оценке вычисленной для априорного распределения, максимизирующего байесовский риск на . Таким образом устанавливается связь меж­ду байесовской и минимаксной оценками.

3.2. БАЙЕСОВСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ

Как показывает практика, сложность реализации алго­ритмов оценивания зависит, во-первых, от вида математической модели движения оцениваемой динамической системы и измерений и, во-вторых, от способа проведения измерений, т. е. от того, как поступают измерения, непрерывно или дискретно. Рассмотрим ли­нейные (для линейных моделей), квазилинейные (для линеаризо­ванных моделей) и нелинейные (для нелинейных моделей) байесовские алгоритмы. Как правило, будем полагать, что измери­тельная информация поступает дискретно и соответствующие алго­ритмы имеют рекуррентную форму. Эта форма алгоритма наиболее удобна для реализации на ЭВМ, когда поступающие векторы из­мерений обрабатываются поочередно. В некоторых случаях удобно обобщить полученные результаты на случай непрерывных изме­рений.

В качестве показателей эффективности СМО используются: среднее (здесь и в дальнейшем средние величины понимаются как математические ожидания соответствующих случайных величин) число заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания; вероятность отказа в обслуживании без ожидания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.

СМО делят на два основных типа (класса) : СМО с отказами и href="cmo_length.php">СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.
СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т.п.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.
Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S 1 , S 2 , S 3 … можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс c дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).
Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы - марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t 0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пример марковского процесса: система S - счетчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t 0 счетчик показывает S 0 . Вероятность того, что в момент t > t 0 счетчик покажет то или иное число километров (точнее, соответствующее число рублей) S 1 , зависит от S 0 , но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показания счетчика до момента t 0 .
Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система S - группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t 0 . Вероятность того, что в момент t > t 0 материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависят в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t 0 , а не того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t 0 .
В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения марковские модели.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой - так называемым графом состоянии. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние - стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.
Задача 1 . Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Решение. Возможные состояния системы: S 0 - оба узла исправны; S 1 - первый узел ремонтируется, второй исправен; S 2 - второй узел ремонтируется, первый исправен; S 3 - оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис.1.
Рис. 1
Стрелка, направленная, например, из S 0 в S 1 означает переход системы в момент отказа первого узла, из S 1 в S 0 - переход в момент окончанияремонта этого узла.
На графе отсутствуют стрелки из S 0 , в S 3 и из S 1 в S 2 . Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S 0 в S 3) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S 3 в S 0) можно пренебречь.

Поток событий

Многие операции, которые приходится анализировать при выборе оптимального решения, развиваются как случайные процессы, зависящие от ряда случайных факторов.

Для математического описания многих операций, развивающихся в форме случайного процесса, может быть с успехом применен математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для так называемых марковских случайных процессов.

Поясним понятие марковского случайного процесса.

Пусть имеется некоторая система S, состояние которой меняется с течением времени (под системой S может пониматься все что угодно: промышленное предприятие, техническое устройство, ремонтная мастерская и т. д.). Если состояние системы S меняется во времени случайным, заранее непредсказуемым образом, говорят, что в системе S протекает случайный процесс.

Примеры случайных процессов:

флуктуации цен на фондовом рынке;

обслуживание клиентов в парикмахерской или ремонтной мастерской;

выполнение плана снабжения группы предприятий и т. д.

Конкретное протекание каждого из этих процессов зависит от ряда случайных, заранее непредсказуемых факторов, таких как:

поступление на фондовый рынок непредсказуемых известий о политических изменениях;

случайный характер потока заявок (требований), поступающих со стороны клиентов;

случайные перебои в выполнении плана снабжения и т. д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским (или процессом без последствия ), если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t 0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t 0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t 0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т. е. как развивался процесс в прошлом).

Другими словами, в марковском случайном процессе будущее развитие его зависит только от настоящего состояния и не зависит от “предыстории” процесса.

Рассмотрим пример. Пусть система S представляет собой фондовый рынок, который уже существует какое-то время. Нас интересует, как будет работать система в будущем. Ясно, по крайней мере в первом приближении, что характеристики работы в будущем (вероятности падения цен конкретных акций через неделю) зависят от состояния системы в настоящий момент (здесь могут вмешаться самые различные факторы типа решений правительства или результатов выборов) и не зависят от того, когда и как система достигла своего настоящего состояния (не зависят от характера движения цен на эти акции в прошлом).

На практике часто встречаются случайные процессы, которые, с той или другой степенью приближения можно считать марковскими.

Теория марковских случайных процессов имеет широкий спектр различных приложений. Нас будет интересовать главным образом применение теории марковских случайных процессов к построению математических моделей операций, ход и исход которых существенно зависит от случайных факторов.

Марковские случайные процессы подразделяются на классы в зависимости от того, как и в какие моменты времени система S" может менять свои состояния.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы s x , s 2 , s v ... можно перечислить (пронумеровать) одно за другим, а сам процесс состоит в том, что время от времени система S скачком (мгновенно) перескакивает из одного состояния в другое.

Например, разработку проекта S осуществляют совместно два отдела, каждый из которых может совершить ошибку. Возможны следующие состояния системы:

5, - оба отдела работают нормально;

s 2 - первый отдел совершил ошибку, второй работает нормально;

s 3 - второй отдел совершил ошибку, первый работает нормально;

s 4 - оба отдела совершили ошибку.

Процесс, протекающий в системе, состоит в том, что она случайным образом в какие-то моменты времени переходит («перескакивает») из состояния в состояние. Всего у системы четыре возможных состояния. Перед нами - процесс с дискретными состояниями.

Кроме процессов с дискретными состояниями существуют случайные процессы с непрерывными состояниями : для этих процессов характерен постепенный, плавный переход из состояния в состояние. Например, процесс изменения напряжения в осветительной сети представляет собой случайный процесс с непрерывными состояниями.

Мы будем рассматривать только случайные процессы с дискретными состояниями.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями очень удобно пользоваться геометрической схемой - так называемым графом состояний. Граф состояний геометрически изображает возможные состояния системы и ее возможные переходы из состояния в состояние.

Пусть имеется система S с дискретными состояниями:

Каждое состояние будем изображать прямоугольником, а возможные переходы (“перескоки”) из состояния в состояние - стрелками, соединяющими эти прямоугольники. Пример графа состояния приведен на рис. 4.1.

Заметим, что стрелками отмечаются только непосредственные переходы из состояния в состояние; если система может перейти из состояния s 2 в 5 3 только через s y то стрелками отмечаются только переходы s 2 -> и л, 1 -> 5 3 , но не s 2 -» s y Рассмотрим несколько примеров:

1. Система S - фирма, которая может находиться в одном из пяти возможных состояний: s ] - работает с прибылью;

s 2 - утратила перспективу развития и перестала приносить прибыль;

5 3 - стала объектом для потенциального поглощения;

s 4 - находится под внешним управлением;

s 5 - имущество ликвидируемой фирмы продается на торгах.

Граф состояний фирмы показан на рис. 4.2.

Рис. 4.2

• 2. Система S - банк, имеющий два отделения. Возможны следующие состояния системы:
• 5, - оба отделения работают с прибылью;

s 2 - первое отделение работает без прибыли, второе работает с прибылью;

5 3 - второе отделение работает без прибыли, первое работает с прибылью;

s 4 - оба отделения работают без прибыли.

Предполагается, что улучшение состояния не происходит.

Граф состояний представлен на рис. 4.3. Отметим, что на графе не показан возможный переход из состояния s ] непосредственно в s 4 , который осуществится, если банк сразу будет работать в убыток. Возможностью такого события можно пренебречь, что и подтверждает практика.

Рис. 4.3

3. Система S - инвестиционная компания, состоящая из двух трейдеров (отделов): I и II; каждый из них может в какой-то момент времени начать работать в убыток. Если это происходит, то руководство компании немедленно принимает меры для восстановления прибыльной работы отдела.

Возможные состояния системы: s - деятельность обоих отделов прибыльна; s 2 - первый отдел восстанавливается, второй работает с прибылью;

s 3 - первый отдел работает с прибылью, второй восстанавливается;

s 4 - оба отдела восстанавливаются.

Граф состояний системы показан на рис. 4.4.

4. В условиях предыдущего примера деятельность каждого трейдера перед тем, как он начнет восстанавливать прибыльную работу отдела, подвергается изучению руководством фирмы в целях принятия мер по ее улучшению.

Состояния системы будем для удобства нумеровать не одним, а двумя индексами; первый будет означать состояния первого трейдера (1 - работает с прибылью, 2 - его деятельность изучается руководством, 3 - восстанавливает прибыльную деятельность отдела); второй - те же состояния для второго трейдера. Например, s 23 будет означать: деятельность первого трейдера изучается, второй - восстанавливает прибыльную работу.

Возможные состояния системы S:

s u - деятельность обоих трейдеров приносит прибыль;

s l2 - первый трейдер работает с прибылью, деятельность второго изучается руководством компании;

5 13 - первый трейдер работает с прибылью, второй восстанавливает прибыльную деятельность отдела;

s 2l - деятельность первого трейдера изучается руководством, второй работает с прибылью;

s 22 - деятельность обоих трейдеров изучается руководством;

• 5 23 - работа первого трейдера изучается, второй трейдер восстанавливает прибыльную деятельность отдела;
• 5 31 - первый трейдер восстанавливает прибыльную деятельность отдела, второй работает с прибылью;
• 5 32 - прибыльная деятельность отдела восстанавливается первым трейдером, работа второго трейдера изучается;
• 5 33 - оба трейдера восстанавливают прибыльную работу своего отдела.

Всего девять состояний. Граф состояний показан на рис. 4.5.