Метод сечений заключается в том что тело мысленно рассекается плоскостью на 2 части, любая из которых отбрасывается и в замен ее к оставшемуся сечению прикладывают силы действующие до разреза, оставленную часть рассматривают как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил. Согласно 3 му закону Ньютона внутренние силы, действующие в сечении оставшейся и отброшенной частей тела равны по модулю, но противоположны следовательно рассматриваем равновесие любой из 2 частей рассеченного тела мы получили одно и тоже значение внутренних сил.
Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. При изгибе возникают деформация, при которой происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса.
Брус, работающий при изгибе, называется балкой . Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой.
Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения.
При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N, поперечная Q силы и изгибающий момент M.
Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым (рис.6.2). При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным . Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.
Косой изгиб - изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.
Сложный изгиб - изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.
Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента
Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы.
Перед тем, как определять внутренние усилия (поперечные силы и изгибающие моменты) и строить эпюры, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 6.5 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 6.5,б) и подвижной (рис. 6.5,в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 6.5,а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реактивные силы (рис. 6.3,б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис.6.5,в).
Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке, то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.
Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является положительным. Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является отрицательным.
Достаточно очевидно и подтверждается опытом, что балка при изгибе деформируется таким образом, что волокна, расположенные в выпуклой части, растягиваются, а в вогнутой – сжимаются. Между ними лежит слой волокон, который лишь искривляется, не изменяя своей первоначальной длины (рис.6.8). Этот слой называется нейтральным или нулевым, а его след на плоскости поперечного сечения – нейтральной (нулевой) линией или осью.
При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Такое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.
Рассмотрим для простоты балку с прямоугольным поперечным сечением (рис.6.9). Следуя методу сечений, мысленно проведем разрез и отбросим какую-либо часть балки, а другую оставим. На оставшейся части покажем действующие на нее силы и в поперечном сечении – внутренние силовые факторы, которые являются результатом приведения к центру сечения сил, действующих на отброшенную часть. Учитывая, что внешние силы и распределенные нагрузки лежат в одной плоскости и действуют перпендикулярно оси балки, в сечении получим поперечную силу и изгибающий момент. Эти внутренние силовые факторы заранее неизвестны, поэтому их показывают в положительном направлении в соответствии с принятыми правилами знаков.
Силы, как известно, бывают внешние и внутренние . Если взять в руки обычную ученическую линейку и изогнуть ее, то делаем мы это, прикладывая внешние силы – руки. Если усилие рук убрать, то линейка вернется в исходное положение самостоятельно, под воздействием своих внутренних сил (это силы взаимодействия между частицами элемента от воздействия внешних сил). Чем больше внешние силы, тем больше и внутренние, но внутренние не могут постоянно увеличиваться, они растут лишь до определенного предела, и когда внешние силы превысят внутренние, произойдет разрушение . Поэтому крайне важно знать о внутренних силах в материале с точки зрения его прочности. Внутренние силы определяются с помощью метода сечений . Рассмотрим его подробно. Допустим, стержень нагружен некоторыми силами (верхний левый рис.). Разрезаем стержень сечением 1–1 на две части, и будем рассматривать любую из них – ту, которая покажется нам проще. К примеру, отбрасываем правую часть и рассмотрим равновесие левой части (верхний правый рис.).
Действие отброшенной правой части на оставшуюся левую заменяем внутренними силами, их бесконечно много, так как это силы взаимодействия между частицами тела. Из теоретической механики известно, что любую систему сил можно заменить эквивалентной ей системой, состоящей из главного вектора и главного момента. Поэтому все внутренние силы приведем к главному вектору R и главному моменту М (рис.1.1,б). Поскольку наше пространство трехмерно, то главный вектор R можно разложить по осям координат и получить три силы — Q x , Q y , N z (рис.1.1,в). По отношению к продольной оси стержня силы Q x , Q y называются поперечными или перерезывающими силами (расположены поперек оси), N z получил название продольной силы (расположена вдоль оси).
Главный момент М при разложении по осям координат также даст три момента(рис.1.1,г) в соответствии с той же продольной осью — два изгибающих момента M x и M y и крутящий момент Т (может обозначаться как М к или М z).
Таким образом, в общем случае нагружения существует шесть компонентов внутренних сил , которые называются внутренними силовыми факторами или внутренними силами. Для их определения в случае пространственной системы сил составляются шесть уравнений равновесия , а в случае плоской – три.
Чтобы запомнить последовательность метода сечений, следует использовать мнемотехнический прием – запомнить слово РОЗУ из первых букв действий: Р азрезаем (сечением), О тбрасываем (одну из частей), З аменяем (действие отброшенной части внутренними силами), У равновешиваем (т.е. с помощью уравнений равновесия определяем значение внутренних сил).
В практике возникают следующие виды деформаций. Если при случае нагружения в элементе под действием сил возникает один внутренний силовой фактор, то такая деформация называется простой или основной. Простые деформации - это растяжение-сжатие (возникает продольная сила), сдвиг (поперечная сила), изгиб (изгибающий момент), кручение (крутящий момент). Если одновременно элемент испытывает несколько деформаций (кручение с изгибом, изгиб с растяжением и др.), то такая деформация называется сложной .
Внутренние силы возникают между отдельными элементами сооружения и между отдельными частями элемента под действием внешних сил. Определение внутренних сил производят методом сечений. Сущность его заключается в том, что тело, находящееся в равновесии (рис.2.1,а ), рассекают мысленно на две части (рис.2.1,б ), отбрасывают одну из частей, заменяя влияние отброшенной части внутренними силами, и составляют уравнения равновесия для оставшейся части, на которую действуют приложенные к ней внешние силы и подлежащие определению внутренние силы, распределенные по сечению.
Обычно плоскость сечения проводится перпендикулярно касательной к оси бруса. Систему внутренних сил можно привести к одной силе R и к одной паре М .Выберем в качестве центра приведения сил центр тяжести сечения 0 и
направим ось Оx правой прямоугольной системы координат перпендикулярно сечению в сторону внешней нормали. Разложим векторы R и M на составляющие (рис. 2.1,в ). Силу N , направленную по касательной к оси стержня, называют продольной силой. Силы Q y и Q z , направленные по нормали к оси стержня, называют поперечными силами. Момент Т относительно оси х называют крутящим. Моменты М y и M z носят название изгибающих. Эти шесть внутренних усилий могут быть найдены из шести уравнений равновесия тела в пространстве, составленных для рассматриваемой части бруса. Уравнения составляются применительно к недеформированному телу, если наблюдаются малые изменения его размеров и формы. Принятие такого допущения значительно упрощает задачу, уравнения становятся линейными, что позволяет пользоваться принципом независимости действия сил (принципом наложения). Последний гласит, что результат совместного воздействия на тело системы сил равен сумме частных результатов воздействия каждой силы в отдельности.
Каждому из внутренних усилий соответствует свой вид деформирования тела: N − растяжение (сжатие), Q y и Q z − сдвиг, Т − кручение, М у и М z − изгиб. Эти деформации, как правило, возникают в различных сочетаниях. Продольная сила считается положительной, если ее направление совпадает с направлением внешней нормали к сечению. Крутящий момент принимается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса со стороны его внешней нормали он представляется направленным по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент считается положительным, когда на левом торцe правой части бруса он направлен по ходу часовой стрелки, а на правом торце левой части − против хода часовой стрелки. Поперечная сила положительна, если она стремится вращать отсеченную часть бруса (на которую она действует) по ходу часовой стрелки относительно любой точки на внутренней нормали к сечению. Положительные знаки усилий показаны на рис.2.2.
При определении знаков внутренних усилий в вертикальных брусьях необходимо какой-то конец бруса (нижний или верхний) принимать в качестве левого и отмечать его на чертеже каким-либо значком.
Этапы метода сечения
Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить.
Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.
Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.
Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами,заменим действие отброшенной части внутренними силами (рис. 1.3, б).
Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).
Известно, что различают силы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) – это количественная мера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях. Внутренние усилия – это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле.
На рис.1 приведена расчетная схема бруса с произвольной комбинацией внешней нагрузки образующую равновесную систему сил:
Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая отсеченная часть
Рис.1.
Метод сечений.
При этом, реакции связей определяются из известных уравнений равновесия статики твердого тела:
где х 0 , у 0 , z 0 - базовая система координат осей.
Мысленное разрезание бруса на две части произвольным сечением А (рис.1 a), приводит к условиям равновесия каждой из двух отсеченных частей (рис.1 б,в). Здесь {S’ } и {S" }- внутренние усилия, возникающих соответственно в левой и правой отсеченных частях вследствие действия внешних усилий.
При составлении мысленно отсеченных частей, условие равновесия тела обеспечивается соотношением:
Так как исходная система внешних сил (1) эквивалентна нулю, получаем:
{S ’ } = – {S ” } (3)
Это условие соответствует четвертой аксиоме статики о равенстве сил действия и противодействия.
Используя общую методологию теоремыПуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру и выбрав за полюс приведения центр масс, сечения А " , точку С " , систему внутренних усилий для левой части {S ’ } сводим к главному вектору и главному моменту внутренних усилий. Аналогично делается для правой отсеченной части, где положение центра масс сечения А”; определяется, соответственно, точкой С " (рис.1 б,в).
Здесь в соответствие с четвертой аксиомой статики по-прежнему имеют место следующие соотношения:
Таким образом главный вектор и главный момент системы внутренних усилий, возникающие в левой, условно отсеченной части бруса, равны по величине и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту системы внутренних усилий, возникающих в правой условно отсеченной части.
График (эпюра) распределения численных значений главного вектора и главного момента вдоль продольной оси бруса и предопределяют, прежде всего, конкретные вопросы прочности, жесткости и надежности конструкций.
Определим механизм формирования компонент внутренних усилий, которые характеризуют простые виды сопротивлений: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.
В центрах масс исследуемых сечений С" или С " зададимся соответственно левой (с", х", у", z") или правой (с", х", у", z”) системами координатных осей (рис.1 б, в), которые в отличие от базовой системы координат x, у, z будем называть "следящими". Термин обусловлен их функциональным назначением. А именно: отслеживание изменения положения сечения А (рис.1 а) при условном смещении его вдоль продольной оси бруса, например при: 0 х’ 1 а, а x’ 2 b и т.д., где а и b - линейные размеры границ исследуемых участков бруса.
Зададимся положительными направлениями проекций главного вектора или и главного момента или на координатные оси следящей системы (рис.1 б, в):
При этом положительные направления проекций главного вектора и главного момента внутренних усилий на оси следящей системы координат соответствуют правилам статики в теоретической механике: для силы - вдоль положительного направления оси, для момента - против вращения часовой стрелки при наблюдении со стороны конца оси. Они классифицируются следующим образом:
N x - нормальная сила, признак центрального растяжения или сжатия;
М x - внутренний крутящий момент, возникает при кручении;
Q z , Q у - поперечные или перерезывающие силы – признак сдвиговых деформаций,
М у, М z - внутренние изгибающие моменты, соответствуют изгибу.
Соединение левой и правой мысленно отсеченных частей бруса приводит к известному (3) принципу равенства по модулю и противоположной направленности всех одноименных компонент внутренних усилий, а условие равновесии бруса определяется в виде:
С учетом эквивалентности нулю исходной системы сил (1) имеет место:
Как естественное следствие из соотношений 3,4,5 полученное условие является необходимым для того, чтобы одноименные компоненты внутренних усилий попарно образовали подсистемы сил эквивалентные нулю:
Общее число внутренних усилий (шесть) в статически определимых задачах совпадает с количеством уравнений равновесия для пространственной системы сил и связано с числом возможных взаимных перемещений одной условно отсеченной части тела по отношению к другой. z (P i ) = M z + M z (P i ) + … + M z (P k ) = 0 > M z
Здесь для простоты обозначений системы координат с" х" у" z" и с" х" у" т" заменены единой оxуz .
Внутри любого материала имеются внутренние межатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение (увеличение или уменьшение) внутренних сил, т. е. появление дополнительных внутренних сил.
В сопротивлении материалов изучаются дополнительные внутренние силы. Поэтому под внутренними силами (или внутренними усилиями) в сопротивлении материалов понимают силы взаимодействия между отдельными элементами сооружения или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил. Это понятие равносильно допущению об отсутствии в теле внутренних сил до приложения к нему внешних нагрузок. Поэтому иногда считают, что в сопротивлении материалов принимается гипотеза о ненапряженном начальном состоянии тела.
Рассмотрим элемент конструкции, на который действует система внешних сил, находящихся в равновесии (рис. 4.1, а). Напоминаем, что в число внешних сил входят как заданные активные силы, так и реакции связей. Мысленно рассечем элемент плоскостью . Силы воздействия отсеченной правой части элемента на его левую часть (на правый ее торец) являются по отношению к ней внешними; для всего же элемента в целом они являются внутренними силами. Этим силам (на основании известного закона механики: действие равно противодействию) равны по величине и противоположны по направлению внутренние силы воздействия левой части элемента на правую.
В общем случае пространственной задачи взаимодействие между левой и правой частями элемента можно представить некоторой силой R, приложенной в произвольно выбранной точке О сечения , и моментом М относительно некоторой оси, проходящей через эту точку (рис. 4.1, б, в).
Сила R является главным вектором, а момент М-главным моментом системы внутренних сил, действующих по проведенному сечению.
Определение внутренних сил, возникающих в брусе, обычно производится для сечений, перпендикулярных к его продольной оси, т. е. для поперечных сечений бруса. Точка О принимается расположенной на оси бруса, т. е. совпадающей с центром тяжести его поперечного сечения.
Главный вектор R раскладывается на две составляющие силы: силу N, направленную вдоль оси бруса и называемую продольной силой, и силу Т, действующую в плоскости поперечного сечения и называемую поперечной силой (рис. 5.1, а). Момент М раскладывается на два составляющих момента: момент действующий в плоскости поперечного сечения и называемый крутящим моментом, и момент действующий в плоскости, перпендикулярной к поперечному сечению, и называемый изгибающим моментом (рис. 5.1, б).
Каждому из внутренних усилий соответствует определенный вид Рис. 5.1 деформации бруса. Продольной силе N соответствует растяжение (или сжатие), поперечной силе Т - сдвиг, крутящему моменту - кручение, а изгибающему моменту - изгиб. Различные их сочетания, например сжатие с изгибом, изгиб с кручением и т. п., представляют собой сложные сопротивления.
Внутренние усилия N и характеризуются каждое одним параметром-величиной усилия. Поперечная сила Т характеризуется двумя параметрами, например, величиной этой силы и ее направлением (в плоскости поперечного сечения бруса). Более удобно силу Т определять через составляющие ее поперечные силы параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, расположенным в плоскости поперечного сечения бруса (рис. 5.1, а). Изгибающий момент Мн также характеризуется двумя параметрами; его обычно раскладывают на два составляющих изгибающих момента относительно осей z и у.
Таким образом, взаимодействие любых двух частей конструкции характеризуется тремя составляющими главного вектора и тремя составляющими главного момента внутренних сил, возникающих в рассматриваемом поперечном сечении. Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами, или внутренними усилиями.
Рассмотрим общий прием определения внутренних усилий, называемый методом сечений.
Рассечем стержень (рис. 6.1, а) плоскостью совпадающей с поперечным сечением стержня. В полученном поперечном сечении в общем случае действует шесть внутренних усилий: (рис. 6.1, б, в).
Правая часть стержня (рис. 6.1, в) находится в равновесии; значит, внешние силы приложенные к ней, уравновешиваются внутренними усилиями, действующими на правую часть. Но те же внешние силы уравновешиваются и нагрузками, приложенными к левой части стержня (силами ), так как весь стержень в целом (рис. 6.1, а) также находится в равновесии. Следовательно, нагрузки, приложенные к левой части стержня (силы ), и внутренние усилия, действующие на правую часть, статически эквивалентны друг другу.
Таким образом, проекция на какую-либо ось внутренних усилий в сеченииу действующих со стороны левой части стержня на правую, равна проекции на эту ось всех внешних сил, приложенных к левой части. Аналогично, момент относительно какой-либо оси внутренних усилий в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равен моменту всех внешних сил, приложенных к левой части относительно этой оси.
Из шести внутренних усилий, действующих в поперечном сечении стержня, проекции пяти усилий на каждую из осей равны нулю. Аналогично равны нулю и моменты пяти внутренних усилий относительно каждой из указанных осей. Это позволяет легко определять внутренние усилия в стержне, проектируя на ось х или у, или z все внутренние усилия, действующие на правую часть стержня (рис. 6.1, в), и все внешние силы, приложенные к левой части (рис. 6.1, б), или определяя их моменты относительно одной из указанных осей.
Определим, например, величину продольной силы N в поперечном сечении показанном на рис. 6.1, а. Как следует из рис. 6.1, в, проекция на ось всех внутренних усилий, действующих на правую часть стержня, равна если для проекции положительным считать направление справа налево. Поэтому сила N равна сумме проекций на ось всех внешних сил, действующих на левую часть стержня (т. е. сил - рис. 6.1, б). Аналогично значение, например, крутящего момента в поперечном сечении стержня равно сумме моментов сил (рис. 6.1, б) относительно оси если положительными считать моменты, направленные по часовой стрелке (при взгляде с левого конца оси х на правый), и т. д.
Внутренние силы, действующие в сечении со стороны левой части на правую, можно определить по внешним силам, приложенным не к левой, а к правой части. В этом случае полученные направления проекций внешних сил на выбранные оси и моментов относительно этих осей необходимо изменять на противоположные.
Внутренние усилия в каком-либо сечении обычно определяют по внешним силам, приложенным к той части конструкции (расположенной по одну сторону от рассматриваемого сечения), на которую действует меньше сил.
В теоретической механике, в разделе статики, широко применяется замена системы сил их равнодействующей и перенос силы по линии ее действия. В сопротивлении материалов это не всегда возможно, так как может приводить к неправильным результатам. Например, совершенно очевидно, что при определении внутренних сил в сечении (рис. 6.1, а) замена нескольких сил, приложенных к телу по разные стороны от этого сечения, их равнодействующей недопустима, так как она приведет к изменению величин внутренних сил. По этой же причине недопустим перенос какой-либо силы, приложенной левее сечения по линии ее действия, в точку, расположенную правее этого сечения.
