Пусть L – линейное пространство над полем Р . Пусть А1, а2, … , аn (*) конечная система векторов из L . Вектор В = a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn (16) называется Линейной комбинацией векторов ( *), или говорят, что вектор В линейно выражается через систему векторов (*).
Определение 14. Система векторов (*) называется Линейно зависимой , тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, что a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0. Если же a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) называется Линейно независимой.
Свойства линейной зависимости и независимости.
10. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Действительно, если в системе (*) вектор А1 = 0, То 1×0 + 0×А2 + … + 0 ×Аn = 0 .
20. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.
Пусть А1 = L ×а2. Тогда 1×А1 –l×А2 + 0×А3 + … + 0×А N = 0.
30. Конечная система векторов (*) при n ³ 2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.
Þ Пусть (*) линейно зависима. Тогда найдётся ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, при котором a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 . Не нарушая общности, можно считать, что a1 ¹ 0. Тогда существует и А1 = ×a2×А2 + … + ×an×А N. Итак, вектор А1 является линейной комбинацией остальных векторов.
Ü Пусть один из векторов (*) является линейной комбинацией остальных. Можно считать, что это первый вектор, т. е. А1 = B2А2 + … + bnА N, Отсюда (–1)×А1 + b2А2 + … + bnА N = 0 , т. е. (*) линейно зависима.
Замечание. Используя последнее свойство, можно дать определение линейной зависимости и независимости бесконечной системы векторов.
Определение 15. Система векторов А1, а2, … , аn , … (**) называется Линейно зависимой, Если хотя бы один её вектор является линейной комбинацией некоторого конечного числа остальных векторов. В противном случае система (**) называется Линейно независимой.
40. Конечная система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из её векторов нельзя линейно выразить через остальные её векторы.
50. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема тоже линейно независима.
60. Если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система тоже линейно зависима.
Пусть даны две системы векторов А1, а2, … , аn , … (16) и В1, в2, … , вs, … (17). Если каждый вектор системы (16) можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов системы (17), то говорят, что система (17) линейно выражается через систему (16).
Определение 16. Две системы векторов называются Эквивалентными , если каждая из них линейно выражается через другую.
Теорема 9 (основная теорема о линейной зависимости).
Пусть и – две конечные системы векторов из L . Если первая система линейно независима и линейно выражается через вторую, то N £ s.
Доказательство. Предположим, что N > S. По условию теоремы
|
|
Так как система линейно независима, то равенство (18) Û Х1=х2=…=х N= 0. Подставим сюда выражения векторов : …+=0 (19). Отсюда (20). Условия (18), (19) и (20), очевидно, эквивалентны. Но (18) выполняется только при Х1=х2=…=х N= 0. Найдём, когда верно равенство (20). Если все его коэффициенты равны нулю, то оно, очевидно, верно. Приравняв их нулю, получим систему (21). Так как эта система имеет нулевое , то она |
(21)совместна. Так как число уравнений больше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. Следовательно, у неё есть ненулевое Х10, х20, …, х N0 . При этих значениях равенство (18) будет верно, что противоречит тому, что система векторов линейно независима. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, N £ s.
Следствие. Если две эквивалентные системы векторов конечны и линейно независимы, то они содержат одинаковое число векторов.
Определение 17. Система векторов называется Максимальной линейно независимой системой векторов Линейного пространства L , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого вектора из L , не входящего в эту систему, она становится уже линейно зависимой.
Теорема 10. Любые две конечные максимальные линейно независимые системы векторов из L Содержат одинаковое число векторов.
Доказательство следует из того, что любые две максимальные линейно независимые системы векторов эквивалентны.
Легко доказать, что любую линейно независимую систему векторов пространства L можно дополнить до максимальной линейно независимой системы векторов этого пространства.
Примеры:
1. Во множестве всех коллинеарных геометрических векторов любая система, состоящая их одного ненулевого вектора, является максимальной линейно независимой.
2. Во множестве всех компланарных геометрических векторов любые два неколлинеарных вектора составляют максимальную линейно независимую систему.
3. Во множестве всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства любая система трёх некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой.
4. Во множестве всех многочленов степени не выше N С действительными (комплексными) коэффициентами система многочленов 1, х, х2, … , хn Является максимальной линейно независимой.
5. Во множестве всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами примерами максимальной линейно независимой системы являются
а) 1, х, х2, … , хn, … ;
б) 1, (1 – х ), (1 – х )2, … , (1 – х )N, …
6. Множество матриц размерности M ´ N является линейным пространством (проверьте это). Примером максимальной линейно независимой системы в этом пространстве является система матриц Е11 = , Е12 =, … , Е Mn = .
Пусть дана система векторов С1, с2, … , ср (*). Подсистема векторов из (*) называется Максимальной линейно независимой Подсистемой Системы ( *) , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого другого вектора этой система она становится линейно зависимой. Если система (*) конечна, то любая её максимальная линейно независимая подсистема содержит одно и то же число векторов. (Доказательство проведите самостоятельно). Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы (*) называется Рангом Этой системы. Очевидно, эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.
Пусть в -мерном арифметическом пространстве имеется совокупность векторов 
.
Определение 2.1.
Совокупность векторов 
называется линейно независимой
системой векторов, если равенство вида
выполняется только при нулевых значениях числовых параметров 
.
Если равенство (2.1) может быть выполнено при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то такая система векторов будет называться линейно зависимой .
Пример 2.1. Проверить линейную независимость векторов
Решение. Составим равенство вида (2.1)
Левая часть данного выражения может обращаться в нуль только при выполнении условия 
, которое означает, что система является линейно-независимой.
Пример 2.1.
Будут ли векторы 
линейно независимыми?
Решение.
Нетрудно проверить, что равенство 
верно при значениях 
, 
. Значит, данная система векторов линейно зависима.
Теорема 2.1. Если система векторов является линейно зависимой, то любой вектор из этой системы может быть представлен в виде линейной комбинации (или суперпозиции) остальных векторов системы.
Доказательство
. Предположим, что система векторов 
линейно зависима. Тогда в силу определения существует набор чисел , среди которых хотя бы одно число отлично от нуля, и при этом справедливо равенство (2.1):
Без потери общности предположим, что ненулевым коэффициентом является , то есть 
. Тогда последнее равенство можно разделить на и далее выразить вектор :
.
Таким образом, вектор представлен в виде суперпозиции векторов 
. Теорема 1 доказана.
Следствие.
Если 
– совокупность линейно независимых векторов, то ни один вектор из этого набора не может быть выражен через остальные
.
Теорема 2.2.
Если система векторов
содержит ноль-вектор, то такая система обязательно будет линейно зависимой
.
Доказательство
. Пусть вектор является ноль-вектором, то есть 
.
Тогда выбираем постоянные (
) следующим образом:
, .
При этом равенство (2.1) выполняется. Первое слагаемое слева равно нулю вследствие того, что – ноль-вектор. Остальные слагаемые обращаются в нуль, будучи умноженными на нулевые константы (
). Таким образом,
при , а значит, векторы 
линейно зависимые. Теорема 2.2 доказана.
Следующий вопрос, на который нам предстоит ответить, какое наибольшее количество векторов может составить линейно независимую систему в n -мерном арифметическом пространстве. В пункте 2.1 был рассмотрен естественный базис (1.4):
Было установлено, что произвольный вектор -мерного пространства является линейной комбинацией векторов естественного базиса, то есть произвольный вектор 
выражается в естественном базисе в виде
, (2.2)
где 
– координаты вектора , представляющие собой некоторые числа. Тогда равенство
возможно лишь при , а значит, векторов 
естественного базиса образуют линейно независимую систему. Если добавить к этой системе произвольный вектор , то на основании следствия теоремы 1 система будет зависимой, поскольку вектор выражается через векторы по формуле (2.2).
Этот пример показывает, что в n -мерном арифметическом пространстве существуют системы, состоящие из линейно независимых векторов. А если к этой системе добавить хотя бы один вектор, то получим систему линейно зависимых векторов. Докажем, что если число векторов превышает размерность пространства, то они линейно зависимые.
Теорема 2.3. В -мерном арифметическом пространстве не существует системы, состоящей более чем из линейно независимых векторов.
Доказательство . Рассмотрим произвольных -мерных векторов:
………………………
Пусть 
. Составим линейную комбинацию векторов (2.3) и приравняем её к нулю:
Векторное равенство (2.4) равносильно скалярным равенствам для координат 
векторов 
:
(2.5)
Эти равенства образуют систему однородных уравнений с неизвестными 
. Так как число неизвестных больше числа уравнений (
), то в силу следствия теоремы 9.3 раздела 1 однородная система (2.5) имеет ненулевое решение. Следовательно, равенство (2.4) справедливо при некоторых значениях 
, среди которых не все равны нулю, а значит, система векторов (2.3) линейно зависимая. Теорема 2.3 доказана.
Следствие. В -мерном пространстве существуют системы, состоящие из линейно независимых векторов, а любая система, содержащая больше чем векторов, будет линейно зависимой.
Определение 2.2. Систему линейно независимых векторов называют базисом пространства , если любой вектор пространства может быть выражен в виде линейной комбинации этих линейно независимых векторов.
2.3. Линейное преобразование векторов
Рассмотрим два вектора и -мерного арифметического пространства .
Определение 3.1.
Если каждому вектору 
сопоставлен вектор из этого же пространства , то говорят, что задано некоторое преобразование -мерного арифметического пространства.
Будем обозначать это преобразование через . Вектор будем называть образом . Можно записать равенсто
. (3.1)
Определение 3.2. Преобразование (3.1) будем называть линейным, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
, (3.2)
,
(3.3)
где - произвольный скаляр (число).
Зададим преобразование (3.1) в координатной форме. Пусть координаты векторов 
и 
связаны зависимостью
(3.4)
Формулы (3.4) задают преобразование (3.1) в координатной форме. Коэффициенты (
) системы равенств (3.4) можно представить в виде матрицы
называемой матрицей преобразования (3.1).
Введём векторы-столбцы
,
элементы которых суть координаты векторов и соответственно, так что 
и 
. Будем далее векторы-столбцы и называть векторами.
Тогда преобразование (3.4) может быть записано в матричной форме
. (3.5)
Преобразование (3.5) является линейным в силу свойств арифметических операций над матрицами .
Рассмотрим некоторое преобразование , образом которого является ноль-вектор. В матричном виде это преобразование будет иметь вид
, (3.6)
а в координатной форме – представлять собой систему линейных однородных уравнений
(3.7)
Определение 3.3.
Линейное преобразование называется невырожденным, если определитель матрицы линейного преобразования не равен нулю, то есть 
. Если определитель обращается в нуль, то преобразование будет вырожденным 
.
Известно, что система (3.7) имеет тривиальное (очевидное) решение – нулевое. Это решение является единственным, если только определитель матрицы не равен нулю.
Ненулевые решения системы (3.7) могут появляться, если линейное преобразование является вырожденным, то есть при нулевом определителе матрицы .
Определение 3.4. Рангом преобразования (3.5) называется ранг матрицы преобразования .
Можно сказать, что этому же числу равно количество линейно-независимых строк матрицы .
Обратимся к геометрической интерпретации линейного преобразования (3.5).
Пример 3.1.
Пусть задана матрица линейного преобразования 
, где 
Возьмем произвольный вектор 
, где 
и найдем его образ: 
Тогда вектор 
.
Если 
, то вектор изменит и длину и направление. На рис.1 
.
Если 
, то получим образ
,
то есть вектор 
или 
, а это значит, что изменит только длину, но не изменит направление (рис. 2).
Пример 3.2.
Пусть 
, . Найдём образ:
,
то есть 
, или 
.
Вектор в результате преобразования изменил своё направление на противоположное, при этом длина вектора сохранилась (рис. 3).
Пример 3.3.
Рассмотрим матрицу 
линейного преобразования. Несложно показать, что в этом случае образ вектора полностью совпадает с самим вектором (рис. 4). Действительно,
.
Можно сказать, что линейное преобразование векторов изменяет исходный вектор и по длине, и по направлению. Однако в некоторых случаях существуют такие матрицы, которые преобразуют вектор только по направлению (пример 3.2) или только по длине (пример 3.1, случай 
).
Следует заметить, что все векторы, лежащие на одной прямой, образуют систему линейно зависимых векторов.
Вернёмся к линейному преобразованию (3.5)
и рассмотрим совокупность векторов , для которых образом является нуль-вектор, так что 
.
Определение 3.5
. Совокупность векторов , являющихся решением уравнения 
, образует подпространство -мерного арифметического пространства и называется ядром линейного преобразования
.
Определение 3.6. Дефектом линейного преобразования
называется размерность ядра этого преобразования, то есть, наибольшее число линейно-независимых векторов , удовлетворяющих уравнению 
.
Так как рангом линейного преобразования мы называем ранг матрицы , то можно сформулировать следующее утверждение относительно дефекта матрицы: дефект равен разности 
, где – размерность матрицы, – её ранг.
Если ранг матрицы линейного преобразования (3.5) ищется методом Гаусса, то ранг совпадает с количеством отличных от нуля элементов на главной диагонали уже преобразованной матрицы, а дефект определяется количеством нулевых строк.
Если линейное преобразование является невырожденным, то есть 
, то его дефект обращается в ноль, поскольку ядром является единственный нулевой вектор.
Если линейное преобразование вырожденное и 
, то система (3.6) кроме нулевого решения имеет другие, и дефект в этом случае уже отличен от нуля.
Особый интерес вызывают преобразования, которые, меняя длину, не меняют направление вектора. Точнее говоря, оставляют вектор на прямой, содержащей исходный вектор, при условии, что прямая проходит через начало координат. Такие преобразования будут рассмотрены в следующем пункте 2.4.
Понятия линейной зависимости и независимости системы векторов является очень важными при изучении алгебры векторов, так как на них базируются понятия размерности и базиса пространства. В этой статье мы дадим определения, рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости, получим алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость и подробно разберем решения примеров.
Навигация по странице.
Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.
Рассмотрим набор из p
n-мерных векторов , обозначим их следующим образом . Составим линейную комбинацию этих векторов и произвольных чисел 
(действительных или комплексных): . Отталкиваясь от определения операций над n
-мерными векторами, а так же свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число, можно утверждать, что записанная линейная комбинация представляет собой некоторый n
-мерный вектор , то есть, .
Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов .
Определение.
Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой
.
Определение.
Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой
.
Свойства линейной зависимости и независимости.
На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов .
Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.
Доказательство.
Так как система векторов линейно зависима, то равенство возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .
Добавим к исходной системе векторов еще s
векторов 
, при этом получим систему . Так как и , то линейная комбинация векторов этой системы вида
представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.
Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.
Доказательство.
Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.
Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.
Доказательство.
Пусть вектор в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.
Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.
Доказательство.
Сначала докажем первое утверждение.
Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем
Следовательно, вектор линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.
Теперь докажем второе утверждение.
Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при .
Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.
Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы и , где – произвольное число, то она линейно зависима.
Исследование системы векторов на линейную зависимость.
Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов .
Логичный вопрос: «как ее решать?»
Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:
Как же быть в остальных случаях, которых большинство?
Разберемся с этим.
Напомним формулировку теоремы о ранге матрицы, которую мы приводили в статье .
Теорема.
Пусть r
– ранг матрицы А
порядка p
на n
, 
. Пусть М
– базисный минор матрицы А
. Все строки (все столбцы) матрицы А
, которые не участвуют в образовании базисного минора М
, линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы, порождающие базисный минор М
.
А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.
Составим матрицу A
, строками которой будут векторы исследуемой системы :
Что будет означать линейная независимость системы векторов ?
Из четвертого свойства линейной независимости системы векторов мы знаем, что ни один из векторов системы не выражается через остальные. Иными словами, ни одна строка матрицы A не будет линейно выражаться через другие строки, следовательно, линейная независимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)=p .
Что же будет означать линейная зависимость системы векторов ?
Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)
.
Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.
Следует заметить, что при p>n система векторов будет линейно зависимой.
Замечание : при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.
Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.
Разберем алгоритм на примерах.
Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.
Пример.
Дана система векторов . Исследуйте ее на линейную зависимость.
Решение.
Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.
Ответ:
Система векторов линейно зависима.
Пример.
Исследуйте систему векторов на линейную зависимость.
Решение.
Не сложно заметить, что координаты вектора c равны соответствующим координатам вектора , умноженным на 3 , то есть, . Поэтому, исходная система векторов линейно зависима.
В данной статье мы расскажем:
- что такое коллинеарные векторы;
- какие существуют условия коллинеарности векторов;
- какие существуют свойства коллинеарных векторов;
- что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.
Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.
Пример 1
Условия коллинеарности векторов
Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:
- условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
- условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:
a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2
- условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:
a ∥ b ⇔ a , b = 0
Замечание 1
Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.
Замечание 2
Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.
Примеры задач на исследование коллинеарности векторов
Пример 1Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.
Как решить?
В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:
Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.
Ответ : a | | b
Пример 2
Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?
Как решить?
Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:
Отсюда видно, что m = - 2 .
Ответ: m = - 2 .
Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов
ТеоремаСистема векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.
Доказательство
Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:
a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0
в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.
Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .
Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:
a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0
Обозначим:
A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n
В таком случае:
β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0
или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n
Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
Достаточность
Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:
e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:
0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
Следствие:
- Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
- Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.
Свойства линейно зависимых векторов
- Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
- Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
- Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.
Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов
Пример 3Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.
Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.
Пример 4
Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.
Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0
Записываем векторное уравнение в виде линейного:
x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0
Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:
1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:
~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~
Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:
~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0
Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Векторы, их свойства и действия с ними
Векторы, действия с векторами, линейное векторное пространство.
Векторы- упорядоченная совокупность конечного количества действительных чисел.
Действия: 1.Умножение вектора на число: лямда*вектор х=(лямда*х 1 , лямда*х 2 … лямда*х n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)
2.Сложение векторов (принадлежат одному и тому же векторному пространству) вектор х+вектор у = (х 1 +у 1, х 2 +у 2, … х n +у n ,)
3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n-мерное (линейное пространство) вектор х +вектор 0 = вектор х
Теорема. Для того чтобы система n векторов, n- мерного линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов были линейной комбинацией остальным.
Теорема. Любая совокупность n+ 1ого вектора n- мерного линейного пространства явл. линейно зависимой.
Сложение векторов, умножение векторов на числа. Вычитание векторов.
Суммой двух векторов и называется вектор, направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало совпадет с концом вектора. Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.
Рассмотрим это на примере декартовой системы координат. Пусть
Покажем, что
Из рисунка 3 видно, что 
Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника (рис. 4): чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.
Свойства операции сложения векторов:
В этих выражениях m, n - числа.
Разностью векторов и называют вектор Второе слагаемое является вектором, противоположным вектору по направлению, но равным ему по длине.
Таким образом, операция вычитания векторов заменяется на операцию сложения
Вектор, начало которого находится в начале координат, а конец - в точке А (x1, y1, z1), называют радиус-вектором точки А и обозначают или просто. Так как его координаты совпадают с координатами точки А, то его разложение по ортам имеет вид
Вектор, имеющий начало в точке А(x1, y1, z1) и конец в точке B(x2, y2, z2), может быть записан в виде
где r 2 - радиус-вектор точки В; r 1 - радиус-вектор точки А.
Поэтому разложение вектора по ортам имеет вид
Его длина равна расстоянию между точками А и В
УМНОЖЕНИЕ
Так в случае плоской задачи произведение вектор на a = {ax; ay} на число b находится по формуле
a · b = {ax · b; ay · b}
Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.
3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}
Так в случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax; ay; az} на число b находится по формуле
a · b = {ax · b; ay · b; az · b}
Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на 2.
2 · a = {2 · 1; 2 · 2; 2 · (-5)} = {2; 4; -10}
Скалярное произведение векторов и 
где - угол между векторами и ; если либо , то
Из определения скалярного произведения следует, что 
где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .
Скалярный квадрат вектора:
Свойства скалярного произведения:
Скалярное произведение в координатах
Если 
то 
Угол между векторами
Угол между векторами - угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).
Векторное произведение(Векторное произведение двух векторов.)- это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся - векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов - длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.
Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.
В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности»
Коллинеарность векторов.
Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется синоним - «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).
Сме́шанное произведе́ние векторов(a, b,c) - скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c:
(a,b,c)=a ⋅(b ×c)
иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами(a,b,c) .
Свойства
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, чтоСмешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и:
Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и, взятому со знаком "минус":
В частности,
Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл - Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Компланарность векторов.
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости
Свойства компланарности
Если хотя бы один из трёх векторов - нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
Смешанное произведение компланарных векторов. Это - критерий компланарности трёх векторов.
Компланарные векторы - линейно зависимы. Это - тоже критерий компланарности.
В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис
Линейно зависимые и линейно независимые векторы.
Линейно зависимые и независимые системы векторов. Определение . Система векторов называется линейно зависимой , если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми .
Теорема (критерий линейной зависимости) . Для того чтобы система век торов линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.
1) Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.
В самом деле, если, например, , то, полагая , имеем нетривиальную линейную комбинацию .▲
2) Если среди векторов некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система линейно зависима.
Действительно, пусть векторы , , линейно зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация , равная нулевому вектору. Но тогда, полагая 
, получим также нетривиальную линейную комбинацию , равную нулевому вектору.
2. Базис и размерность.
Определение
. Система линейно независимых векторов 
векторного пространства называетсябазисом
этого пространства, если любой вектор из может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора существуют вещественные числа 
такие, что имеет место равенство Это равенство называется разложением вектора
по базису , а числа называютсякоординатами вектора относительно базиса
(или в базисе
) .
Теорема (о единственности разложения по базису) . Каждый вектор пространства может быть разложен по базису единственным образом, т.е. координаты каждого вектора в базисе определяются однозначно.
Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения векторов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами – координатами этих векторов. А именно, справедлива следующая
Теорема . При сложении двух любых векторов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса пространства) складываются; при умножении произвольного вектора на любое число все координаты этого вектора умножаются на .
Определение -мерным , если в нем существуют линейно независимых векторов, а любые векторов уже являются линейно зависимыми. При этом число называется размерностью пространства .
Размерность векторного пространства, состоящего из одного нулевого вектора, принимается равной нулю.
Размерность пространства обычно обозначают символом .
Определение . Векторное пространство называется бесконечномерным , если в нем существует любое число линейно независимых векторов. В этом случае пишут .
Выясним связь между понятиями базиса и размерности пространства.
Теорема . Если – векторное пространство размерности , то любые линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.
Теорема . Если векторное пространство имеет базис, состоящий из векторов, то .
Похожая информация.