Под математической статистикой понимают «раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использование их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надежность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала» . При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

По типу решаемых задач математическая статистика обычно делится на три раздела: описание данных, оценивание и проверка гипотез.

По виду обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления:
- одномерная статистика (статистика случайных величин), в которой результат наблюдения описывается действительным числом;
- многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом описывается несколькими числами (вектором);
- статистика случайных процессов и временных рядов, где результат наблюдения – функция;
- статистика объектов нечисловой природы, в которой результат наблюдения имеет нечисловую природу, например, является множеством (геометрической фигурой), упорядочением или получен в результате измерения по качественному признаку.

Исторически первой появились некоторые области статистики объектов нечисловой природы (в частности, задачи оценивания доли брака и проверки гипотез о ней) и одномерная статистика. Математический аппарат для них проще, поэтому на их примере обычно демонстрируют основные идеи математической статистики.

Лишь те методы обработки данных, т.е. математической статистики, являются доказательными, которые опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов. Речь идет о моделях поведения потребителей, возникновения рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента, течения заболевания и т.п. Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Соответствие вероятностной модели реальности, т.е. ее адекватность, обосновывают, в частности, с помощью статистических методов проверки гипотез.

Невероятностные методы обработки данных являются поисковыми, их можно использовать лишь при предварительном анализе данных, так как они не дают возможности оценить точность и надежность выводов, полученных на основании ограниченного статистического материала.

Вероятностные и статистические методы применимы всюду, где удается построить и обосновать вероятностную модель явления или процесса. Их применение обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции).

В конкретных областях применений используются как вероятностно-статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвященного статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью ее методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим методам относятся методы статистического приемочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надежности и др.

Широко применяются такие прикладные вероятностно-статистические дисциплины, как теория надежности и теория массового обслуживания. Содержание первой из них ясно из названия, вторая занимается изучением систем типа телефонной станции, на которую в случайные моменты времени поступают вызовы - требования абонентов, набирающих номера на своих телефонных аппаратах. Длительность обслуживания этих требований, т.е. длительность разговоров, также моделируется случайными величинами. Большой вклад в развитие этих дисциплин внесли член-корреспондент АН СССР А.Я. Хинчин (1894-1959), академик АН УССР Б.В.Гнеденко (1912-1995) и другие отечественные ученые.

Введение

2. Основные понятия математической статистики

2.1 Основные понятия выборочного метода

2.2 Выборочное распределение

2.3 Эмпирическая функция распределения, гистограмма

Заключение

Список литературы

Введение

Математическая статистика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты, свойства которых целиком известны. Предмет теории вероятностей - свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).

Но часто эксперимент представляет собой черный ящик, выдающий лишь некие результаты, по которым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента. Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов, полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.

При этом возникают, например, следующие вопросы: Если мы наблюдаем одну случайную величину - как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении?

Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос, набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек при тысячекратном подбрасывании монеты.

Все вышеприведенные факторы обуславливают актуальность и значимость тематики работы на современном этапе, направленной на глубокое и всестороннее изучение основных понятий математической статистики.

В связи с этим целью данной работы является систематизация, накопление и закрепление знаний о понятиях математической статистики.

1. Предмет и методы математической статистики

Математическая статистика - наука о математических методах анализа данных, полученных при проведении массовых наблюдений (измерений, опытов). В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Существенная часть статистики математической основана на вероятностных моделях. Выделяют общие задачи описания данных, оценивания и проверки гипотез. Рассматривают и более частные задачи, связанные с проведением выборочных обследований, восстановлением зависимостей, построением и использованием классификаций (типологий) и др.

Для описания данных строят таблицы, диаграммы, иные наглядные представления, например, корреляционные поля. Вероятностные модели обычно не применяются. Некоторые методы описания данных опираются на продвинутую теорию и возможности современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластер-анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости, в наименьшей степени исказив расстояния между ними.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели порождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что изучаемые объекты описываются функциями распределения, зависящими от небольшого числа (1-4) числовых параметров. В непараметрических моделях функции распределения предполагаются произвольными непрерывными. В статистике математической оценивают параметры и характеристики распределения (математическое ожидание, медиану, дисперсию, квантили и др.), плотности и функции распределения, зависимости между переменными (на основе линейных и непараметрических коэффициентов корреляции, а также параметрических или непараметрических оценок функций, выражающих зависимости) и др. Используют точечные и интервальные (дающие границы для истинных значений) оценки.

В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвященных проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.

Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов. В настоящее время наиболее актуальны методы поиска информативного подмножества переменных и непараметрические методы.

Разработка методов аппроксимации данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад, когда К. Пирсон создал метод главных компонент. Позднее были разработаны факторный анализ и многочисленные нелинейные обобщения.

Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.

Математические методы в статистике основаны либо на использовании сумм (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей) или показателей различия (расстояний, метрик), как в статистике объектов нечисловой природы. Строго обоснованы обычно лишь асимптотические результаты. В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчетов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).

Основные понятия математической статистики

2.1 Основные понятия выборочного метода

Пусть - случайная величина, наблюдаемая в случайном эксперименте. Предполагается, что вероятностное пространство задано (и не будет нас интересовать).

Будем считать, что, проведя раз этот эксперимент в одинаковых условиях, мы получили числа , , , - значения этой случайной величины в первом, втором, и т.д. экспериментах. Случайная величина имеет некоторое распределение , которое нам частично или полностью неизвестно.

Рассмотрим подробнее набор , называемый выборкой .

В серии уже произведенных экспериментов выборка - это набор чисел. Но если эту серию экспериментов повторить еще раз, то вместо этого набора мы получим новый набор чисел. Вместо числа появится другое число - одно из значений случайной величины . То есть (и , и , и т.д.) - переменная величина, которая может принимать те же значения, что и случайная величина , и так же часто (с теми же вероятностями). Поэтому до опыта - случайная величина, одинаково распределенная с , а после опыта - число, которое мы наблюдаем в данном первом эксперименте, т.е. одно из возможных значений случайной величины .

Выборка объема - это набор из независимых и одинаково распределенных случайных величин («копий »), имеющих, как и , распределение .

Что значит «по выборке сделать вывод о распределении»? Распределение характеризуется функцией распределения, плотностью или таблицей, набором числовых характеристик - , , и т.д. По выборке нужно уметь строить приближения для всех этих характеристик.

.2 Выборочное распределение

Рассмотрим реализацию выборки на одном элементарном исходе - набор чисел , , . На подходящем вероятностном пространстве введем случайную величину , принимающую значения , , с вероятностями по (если какие-то из значений совпали, сложим вероятности соответствующее число раз). Таблица распределения вероятностей и функция распределения случайной величины выглядят так:

Распределение величины называют эмпирическим или выборочным распределением. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины и введем обозначения для этих величин:

Точно так же вычислим и момент порядка

В общем случае обозначим через величину

Если при построении всех введенных нами характеристик считать выборку , , набором случайных величин, то и сами эти характеристики - , , , , - станут величинами случайными. Эти характеристики выборочного распределения используют для оценки (приближения) соответствующих неизвестных характеристик истинного распределения.

Причина использования характеристик распределения для оценки характеристик истинного распределения (или ) - в близости этих распределений при больших .

Рассмотрим, для примера, подбрасываний правильного кубика. Пусть - количество очков, выпавших при -м броске, . Предположим, что единица в выборке встретится раз, двойка - раз и т.д. Тогда случайная величина будет принимать значения 1 , , 6 с вероятностями , , соответственно. Но эти пропорции с ростом приближаются к согласно закону больших чисел. То есть распределение величины в некотором смысле сближается с истинным распределением числа очков, выпадающих при подбрасывании правильного кубика.

Мы не станем уточнять, что имеется в виду под близостью выборочного и истинного распределений. В следующих параграфах мы подробнее познакомимся с каждой из введенных выше характеристик и исследуем ее свойства, в том числе ее поведение с ростом объема выборки.

.3 Эмпирическая функция распределения, гистограмма

Поскольку неизвестное распределение можно описать, например, его функцией распределения , построим по выборке «оценку» для этой функции.

Определение 1.

Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке объема , называется случайная функция , при каждом равная

Напоминание: Случайная функция

называется индикатором события . При каждом это - случайная величина, имеющая распределение Бернулли с параметром . почему?

Иначе говоря, при любом значение , равное истинной вероятности случайной величине быть меньше , оценивается долей элементов выборки, меньших .

Если элементы выборки , , упорядочить по возрастанию (на каждом элементарном исходе), получится новый набор случайных величин, называемый вариационным рядом :

Элемент , , называется -м членом вариационного ряда или -й порядковой статистикой .

Пример 1.

Выборка:

Вариационный ряд:

Рис. 1. Пример 1

Эмпирическая функция распределения имеет скачки в точках выборки, величина скачка в точке равна , где - количество элементов выборки, совпадающих с .

Можно построить эмпирическую функцию распределения по вариационному ряду:

Другой характеристикой распределения является таблица (для дискретных распределений) или плотность (для абсолютно непрерывных). Эмпирическим, или выборочным аналогом таблицы или плотности является так называемая гистограмма .

Гистограмма строится по группированным данным. Предполагаемую область значений случайной величины (или область выборочных данных) делят независимо от выборки на некоторое количество интервалов (не обязательно одинаковых). Пусть , , - интервалы на прямой, называемые интервалами группировки . Обозначим для через число элементов выборки, попавших в интервал :

На каждом из интервалов строят прямоугольник, площадь которого пропорциональна . Общая площадь всех прямоугольников должна равняться единице. Пусть - длина интервала . Высота прямоугольника над равна

Полученная фигура называется гистограммой.

Пример 2.

Имеется вариационный ряд (см. пример 1):

Здесь - десятичный логарифм, поэтому , т.е. при увеличении выборки вдвое число интервалов группировки увеличивается на 1. Заметим, что чем больше интервалов группировки, тем лучше. Но, если брать число интервалов, скажем, порядка , то с ростом гистограмма не будет приближаться к плотности.

Справедливо следующее утверждение:

Если плотность распределения элементов выборки является непрерывной функцией, то при так, что , имеет место поточечная сходимость по вероятности гистограммы к плотности.

Так что выбор логарифма разумен, но не является единственно возможным.

Заключение

Математическая (или теоретическая) статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей, но решает в каком-то смысле обратные задачи.

Если мы наблюдаем одновременно проявление двух (или более) признаков, т.е. имеем набор значений нескольких случайных величин - что можно сказать об их зависимости? Есть она или нет? А если есть, то какова эта зависимость?

Часто бывает возможно высказать некие предположения о распределении, спрятанном в «черном ящике», или о его свойствах. В этом случае по опытным данным требуется подтвердить или опровергнуть эти предположения («гипотезы»). При этом надо помнить, что ответ «да» или «нет» может быть дан лишь с определенной степенью достоверности, и чем дольше мы можем продолжать эксперимент, тем точнее могут быть выводы. Наиболее благоприятной для исследования оказывается ситуация, когда можно уверенно утверждать о некоторых свойствах наблюдаемого эксперимента - например, о наличии функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами, о нормальности распределения, о его симметричности, о наличии у распределения плотности или о его дискретном характере, и т.д.

Итак, о (математической) статистике имеет смысл вспоминать, если

· имеется случайный эксперимент, свойства которого частично или полностью неизвестны,

· мы умеем воспроизводить этот эксперимент в одних и тех же условиях некоторое (а лучше - какое угодно) число раз.

Список литературы

1. Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. – М.; Наука, 1999.

2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1995.

3. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1994.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - СПБ: Издательство «Лань», 2003.

5. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2001.

6. Пехелецкий И.Д. Математика: учебник для студентов. - М.: Академия, 2003.

7. Суходольский В.Г. Лекции по высшей математике для гуманитариев. - СПБ Издательство Санкт-петербургского государственного университета. 2003

8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, Т.2, 1984.

9. Харман Г., Современный факторный анализ. - М.: Статистика, 1972.

Харман Г., Современный факторный анализ. - М.: Статистика, 1972.

1. Математическая статистика. Введение

Математическая статистика - это такая дисциплина, которая применяется во всех областях научного знания.

Статистические методы предназначены для понимания "численной природы" действительности (Nisbett, et al., 1987).

Определение понятия

Математическая статистика - это раздел математики, посвященный методам анализа данных, преимущественно вероятностной природы. Она занимается систематизацией, обработкой и использованием статистических данных для теоретических и практ ических выводов.

Статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. Здесь важно понять, что статистика имеет дело именно с количеством объектов, а не с их описательными признаками.

Цель статистического анализа - исследование свойств случайной величины. Для этого приходится несколько раз измерять значения изучаемой случайной величины. Полученная группа значений рассматривается как выборка из гипотетической генеральной совокупности .

Производится статистическая обработка выборки, и после этого принимается решение. Важно заметить, что вследствие начального условия неопределённости притятое решение всегда носит характер "нечёткого высказывания". Иными словами, в статистической обработке приходится иметь дело с вероятностями, а не с точными утверждениями.

Главное в статистическом методе - это подсчёт числа объектов, входящих в различные группы. Объекты собираются в группу по какому-то определённому общему признаку, а затем рассмотривается распределение этих объектов в группе по количественному выражению данного признака. В статистике часто применяется выборочный метод анализа, т.е. анализируется не вся группа объектов, а небольшая выборка - несколько объектов, взятых из большой группы. Широко используется теория вероятностей при статистической оценке наблюдений и при формировании выводов.

Основным предметом математической статистики является вычисление статистик (да простит нас читатель за тавтологию), являющихся критериями для оценки достоверности априорных предположений, гипотез или выводов по существу эмпирических данных.

Другое определение - “Статистики – это предписания, по которым из выборки рассчитывается некоторое число – значение статистики для данной выборки” [Закс, 1976]. Выборочные среднее и дисперсия, отношение дисперсий двух выборок или любые другие функции от выборки могут рассматриваться как статистики .

Вычисление "статистик" - это представление "одним числом" сложного стохастического (вероятностного) процесса.

Распределение Стьюдента

Статистики также являются случайными переменными. Распределения статистик (тест-распределения) лежат в основе критериев, которые построены на этой статистике. Например, В. Госсет, работая на пивоварне Гиннеса и публикуясь под псевдонимом “Стьюдент”, в 1908 г. доказал очень полезные свойства распределения отношения разности между выборочным средним и средним значением генеральной совокупности () к стандартной ошибке среднего значения генеральной совокупности , или t –статистики (распределение Стьюдента ):

. (5.7)

Распределение Стьюдента по форме при некоторых условиях приближается к нормальному .

Другими двумя важными распределениями выборочных статистик является c 2 -распределение и F -распределение , широко используемые в ряде разделов статистики для проверки статистических гипотез.

Итак, предмет математической статистики составляет формальная количественная сторона исследуемых объектов, безразличная к специфической природе самих изучаемых объектов.

По этой причине в приводимых здесь примерах речь идёт о группах данных, о числах, а не о конкретных измеряемых вещах. И поэтому по образцам расчётов, данных здесь, вы можете рассчитывать свои данные, полученные на самых разных объектах.

Главное - подобрать подходящий для ваших данных метод статистической обработки .

В зависимости от конкретных результатов наблюдений математическая статистика делится на несколько разделов.

Разделы математической статистики

Статистика чисел.

Многомерный статистический анализ.

Анализ функций (процессов) и временных рядов.

Статистика объектов нечисловой природы.

В современной науке считается, что любая область исследований не может быть настоящей наукой до тех пор, пока в неё не проникнет математика. В этом смысле математическая статистика является полномочным представителем математики в любой другой науке и обеспечивает научный подход к исследованиям. Можно сказать, что научный подход начинается там, где в исследовании появляется математическая статистика. Вот почему математическая статистика так важна для любого современного исследователя.

Хотите быть настоящим современным исследователем - изучайте и применяйте в своей работе математическую статистику!

Статистика с необходимостью появляется там, где происходит переход от единичного наблюдения к множественному. Если у вас имеется множество наблюдений, замеров и данных - то без математической статистики вам не обойтись.

Математическую статистику подразделяют на теоретическую и прикладную.

Теоретическая статистика доказывает научность и правильность самой статистики.

Теоретическая математи ческая статистика - наука, изучающая методы раскрытия закономерностей, свойственных большим совокупностям однородных объектов, на основании их выборочного обследования.

Этим разделом статистики занимаются математики, и они любят с помощь своих теоретических математических доказательств убеждать нас в том, что статистика сама по себе научна и ей можно доверять. Беда в том, что эти доказательства способны понять только другие математики, а обычным людям, которым нужно пользоваться математической статистикой эти доказательства всё равно не доступны, да и совершенно не нужны!

Вывод: Если вы не математик, то не тратьте зря свои силы на понимание теоретических выкладок по поводу математической статистики. Изучайте собственно статистические методы, а не их математические обоснования.

Прикладная статистика учит пользователей работать с любыми данными и получать обобщённые результаты. Неважно, какие именно это данные, важно, какое количество этих данных находится в вашем распоряжении. Кроме того, прикладная статистика подскажет нам, насколько можно верить в то, что полученные результаты отражают действительное положение дел.

Для разных дисциплин в прикладной статистике используют различные наборы конкретных методов. Поэтому различают следующие разделы прикладной статистики: биологическая, психологическая, экономическая и другие. Они отличаются друг от друга комплектацией примеров и приемов, а также излюбленными методами вычислений.

Можно привести следующий пример различий между применением прикладной статистики для разных дисциплин. Так, статистическое изучение режима турбулентных водных потоков производится на основе теории стационарных случайных процессов. Однако применение той же теории к анализу экономических временных рядов может привести к грубым ошибкам ввиду того, что допущение того, что распределение вероятностей сохраняется неизменным в этом случае, как правило, совершенно неприемлемо. Следовательно, для этих разных дисциплин потребуются разные статистические методы.

Итак, математическую статистику должен применять в своих исследованиях любой современный учёный. Даже тот учёный, который работает в направлениях, которые весьма далеки от математики. И он должен уметь применять прикладную статискику к своим данным, даже не зная её.

© Сазонов В.Ф., 2009.

Математическая статистика является одним из основных разделов такой науки, как математика, и представляет собой отрасль, изучающую методы и правила обработки определенных данных. Иными словами, она исследует способы раскрытия закономерностей, которые свойственны большим совокупностям одинаковых объектов, основываясь на их выборочном обследовании.

Задача данного раздела состоит в построении методов оценки вероятности или принятии определенного решения о характере развивающихся событий, опираясь на полученные результаты. Для описания данных используются таблицы, диаграммы, а также корреляционные поля. применяются редко.

Математическая статистика используются в различных областях науки. К примеру, для экономики важно обрабатывать сведения об однородных совокупностях явлений и объектов. Ими могут являться изделия, выпускаемые промышленностью, персонал, данные о прибыли и т. д. В зависимости от математической природы результатов наблюдений, можно выделить статистику чисел, анализ функций и объектов нечисловой природы, многомерный анализ. Помимо этого, рассматривают общие и частные (связанные с восстановлением зависимостей, использованием классификаций, выборочными исследованиями) задачи.

Авторы некоторых учебников считают, что теория математической статистики является лишь разделом теории вероятности, другие - что это самостоятельная наука, имеющая собственные цели, задачи и методы. Однако в любом случае ее использование очень обширно.

Так, наиболее ярко математическая статистика применима в психологии. Ее использование позволит специалисту правильно обосновать найти зависимость между данными, обобщить их, избежать многих логических ошибок и многое другое. Нужно отметить, что измерить тот или иной психологический феномен или свойство личности без вычислительных процедур часто просто невозможно. Это говорит о том, что азы данной науки необходимы. Иными словами, ее можно назвать источником и базой теории вероятностей.

Метод исследования, который опирается на рассмотрение статистических данных, используется и в других областях. Однако сразу необходимо отметить, что его черты в применении к объектам, имеющим различную природу происхождения, всегда своеобразны. Поэтому объединять в одну науку физическую или не имеет смысла. Общие же черты данного метода сводятся к подсчету определенного числа объектов, которые входят в ту или иную группу, а также изучению распределения количественных признаков и применению теории вероятностей для получения тех или иных выводов.

Элементы математической статистики используются в таких областях, как физика, астрономия и т. д. Здесь могут рассматриваться значения характеристик и параметров, гипотезы о совпадении каких-либо характеристик в двух выборках, о симметрии распределения и многое другое.

Большую роль математическая статистика играет в проведении Их целью чаще всего является построение адекватных методов оценивания и проверка гипотез. В настоящее время огромное значение в данной науке имеют компьютерные технологии. Они позволяют не только значительно упростить процесс расчета, но и создать для размножения выборок или при изучении пригодности полученных результатов на практике.

В общем случае методы математической статистики помогают сделать два вывода: или принять искомое суждение о характере или свойствах изучаемых данных и их взаимосвязей, или доказать, что полученных результатов недостаточно для того, чтобы делать выводы.

Математическая статистика - это современная отрасль математической науки, которая занимается статистическим описанием результатов экспериментов и наблюдений, а также построением математических моделей, содержащих понятия вероятности. Теоретической базой математической статистики служит теория вероятностей.

В структуре математической статистики традиционно выделяют два основных раздела: описательная статистика и статистические выводы (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Основные разделы математической статистики

Описательная статистика используется для:

o обобщение показателей одной переменной (статистика случайной выборки);

o выявление взаимосвязей между двумя и более переменными (корреляционно-регрессионный анализ).

Описательная статистика дает возможность получить новую информацию, быстрее понять и всесторонне оценить ее, то есть выполняет научную функцию описания объектов исследования, чем и оправдывает свое название. Методы описательной статистики призваны превратить совокупность отдельных эмпирических данных на систему наглядных для восприятия форм и чисел: распределения частот; показатели тенденций, вариативности, связи. Этими методами рассчитываются статистики случайной выборки, которые служат основанием для осуществления статистических выводов.

Статистические выводы дают возможность:

o оценить точность, надежность и эффективность выборочных статистик, найти ошибки, которые возникают в процессе статистических исследований (статистическое оценивание)

o обобщить параметры генеральной совокупности, полученные на основании выборочных статистик (проверка статистических гипотез).

Главная цель научных исследований - это получение нового знания о больших класса явлений, лиц или событий, которые принято называть генеральной совокупности.

Генеральная совокупность - это полная совокупность объектов исследования, выборка - ее часть, которая сформирована определенным научно обоснованным способом 2.

Термин "генеральная совокупность" используется тогда, когда речь идет о большой, но конечную совокупность исследуемых объектов. Например, о совокупности абитуриентов Украины в 2009 году или совокупность детей дошкольного возраста города Ровно. Генеральные совокупности могут достигать значительных объемов, быть конечным и бесконечным. На практике, как правило, имеют дело с конечным совокупностями. И если отношение объема генеральной совокупности к объему выборки составляет более 100, то, по словам Гласса и Стэнли методы оценки для конечных и бесконечных совокупностей дают в сущности одинаковые результаты . Генеральной совокупностью можно называть и полную совокупность значений какого-то признака. Принадлежность выборки к генеральной совокупности является главным основанием для оценки характеристик генеральной совокупности по характеристикам выборки.

Основная идея математической статистики базируется на убеждении о том, что полное изучение всех объектов генеральной совокупности в большинстве научных задач или практически невозможно, или экономически нецелесообразно, поскольку требует много времени и значительных материальных затрат. Поэтому в математической статистике применяется выборочный подход, принцип которого показано на схеме рис. 1.2.

Например, по технологии формирования различают выборки рандомизированы (простые и систематические), стратифицированные, кластерные (см. Раздел 4).

Рис. 1.2. Схема применения методов математической статистики Согласно выборочным подходом использования математико-статистических методов может проводиться в такой последовательности (см. Рис. 1.2):

o с генеральной совокупности, свойства которой подлежат исследованию, определенными методами формируют выборку - типичную но ограниченное количество объектов, к которым применяют исследовательские методы;

o в результате методов наблюдений, экспериментальных действий и измерений над объектами выборки получают эмпирические данные;

o обработка эмпирических данных с помощью методов описательной статистики дает показатели выборки, которые называются статистиками - как и название дисциплины, кстати;

o применяя методы статистических выводов к статистик, получают параметры, которые характеризуют свойства генеральной совокупности.

Пример 1.1. С целью оценки стабильности уровня знаний (переменная X) проведено тестирование рандомизированной выборки 3 студентов объемом n. Тесты содержали по m заданий, каждое из которых оценивалось по системе баллов: "выполнено" "- 1," не выполнено "- 0. остались средние текущие достижения студентов X

3 рандомизированных выборка (от англ. Random - случайный) - это репрезентативная выборка, которая сформирована по стратегии случайных испытаний.

на уровне прошлых лет / ч? Последовательность решения:

o выяснить содержательную гипотезу типа: "если текущие результаты тестирования не будут отличаться от прошлых, то можно считать уровень знаний студентов неизменным, а учебный процесс - стабильным";

o сформулировать адекватную статистическую гипотезу, например, нуль-гипотезу Н 0 о том, что "текущий средний балл X статистически не отличается от среднего показателя прошлых лет / ч", то есть Н 0: X = / г, против соответствующей альтернативной гипотезы X Ф ^ ;

o построить эмпирические распределения исследуемой переменной X;

o определить (при необходимости) корреляционные связи, например, между переменной X и другими показателями, построить линии регрессии;

o проверить соответствие эмпирического распределения нормальному закону;

o оценить значение точечных показателей и доверительный интервал параметров, например, среднего;

o определить критерий для проверки статистических гипотез;

o выполнить проверку статистических гипотез на основе выбранных критериев;

o сформулировать решение о статистической нуль-гипотезы на определенном уровне значимости;

o перейти от решения о принятии или отклонении статистической нуль-гипотезы интерпретации выводов относительно гипотезы содержательной;

o сформулировать содержательные выводы.

Итак, если обобщить вышеперечисленные процедуры, применение статистических методов состоит из трех основных блоков:

Переход от объекта реальности к абстрактной математико-статистической схемы, то есть построение вероятностной модели явления, процесса, свойства;

Проведение расчетных действий собственно математическими средствами в рамках вероятностной модели по результатам измерений, наблюдений, эксперимента и формулировки статистических выводов;

Интерпретация статистических выводов о реальной ситуации и принятия соответствующего решения.

Статистические методы обработки и интерпретации данных опираются на теорию вероятностей. Теория вероятностей является основой методов математической статистики. Без использования фундаментальных понятий и законов теории вероятностей невозможно обобщения выводов математической статистики, а значит и обоснованного их использования для научных и практических целей.

Так, задачей описательной статистики является превращение совокупности выборочных данных на систему показателей - статистик - распределений частот, мер центральной тенденции и изменчивости, коэффициентов связи и тому подобное. Однако, статистики являются характеристиками, по сути, конкретной выборки. Конечно, можно рассчитывать выборочные распределения, выборочные средние, дисперсии и т. Д., Но подобный "анализ данных" имеет ограниченную научно-познавательную ценность. "Механическое" перенос каких-либо выводов, сделанных на основе таких показателей, на другие совокупности не является корректным.

Для того, чтобы иметь возможность переноса выборочных показателей или другие, или на более распространены совокупности, необходимо иметь математически обоснованные положения о соответствии и способности выборочных характеристик характеристиками этих распространенных так называемых генеральных совокупностей. Такие положения базируются на теоретических подходах и схемах, связанных с вероятностными моделях реальности, например, на аксиоматическом подходе, в законе больших чисел и т.д. Только с их помощью можно переносить свойства, которые установлены по результатам анализа ограниченной эмпирической информации, или на другие или на распространенные совокупности. Таким образом, построение, законы функционирования, использование вероятностных моделей, является предметом математической области под названием "теория вероятностей", становится сутью статистических методов.

Таким образом, в математической статистике используются два параллельных строки показателей: первая строка, что имеет отношение к практике (это выборочные показатели) и второй, основанный на теории (это показатели вероятностной модели). Например, эмпирическим частотам, которые определены на выборке, соответствуют понятия теоретической вероятности; выборочном среднем (практика) соответствует математическое ожидание (теория) и т.д. Причем, в исследованиях выборочные характеристики, как правило, являются первичными. Они рассчитываются на основе наблюдений, измерений, экспериментов, после чего проходят статистическое оценивание способности и эффективности, проверку статистических гипотез в соответствии с целями исследований и в конце принимаются с определенной вероятностью как показатели свойств исследуемых совокупностей.

Вопрос. Задача.

1. Охарактеризуйте основные разделы математической статистики.

2. В чем заключается основная идея математической статистики?

3. Охарактеризуйте соотношение генеральной и выборочной совокупностей.

4. Объясните схему применения методов математической статистики.

5. Укажите перечень основных задач математической статистики.

6. Из каких основных блоков состоит применения статистических методов? Охарактеризуйте их.

7. Раскройте связь математической статистики с теорией вероятностей.