Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера). Функции бесселя Как вычисляются коэфф

Дифференциальным уравнением Бесселя называется уравнение вида где и - действительное число. Это уравнение имеет особую точку z = 0 (коэффициент при старшей производной в (7) обращается в нуль при х = 0). Сравнивая (5) и (7), заключаем, что для уравнения Бесселя так что х = 0 является нулем второго порядка (т = 2) функции Ро(х), нулем первого порядка функции р\(х) и не является нулем функции pi(x) (если v Ф 0). Поэтому в силу теоремы 17 существует решение уравнения (7) в виде обобщенного степенного ряда где а - характеристический показатель, подлежащий определению. Перепишем выражение (8) в виде Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера) и найдем производные: Подставим эти выражения в уравнение (7), и приравнивая нулю коэффициенты при х в степени получим систему уравнений то из первого уравнения (9) следует, что, или Теперь из второго уравнения (9) будем иметь Рассмотрим сначала случай. Перепишем уравнение системы (9) в виде откуда получаем рекуррентную формулу для определения ак через ак-2".) Учитывая, что получаем отсюда а3 = 0 и вообще С другой стороны, каждый четный коэффициент может быть выражен через предыдущий по формуле Последовательное применение этой формулы позволяет найти выражение а2т через ао: Подставим найденные значения коэффициентов в формулу (8), (10) Нетрудно проверить, что ряд в правой части (10) сходится на полуоси х > 0 и определяет там функцию (я) - частное решение уравнения Бесселя. Рассмотрим теперь второй случай, когда а = -и. Если v не равно положительному целому числу, то можно написать второе частное решение, которое получается из выражения (10) заменой v на -v (в уравнение (7) v входит четным образом), («О (Если и равно целому положительному числу, то решение (101) теряет силу, так как начиная с некоторого числа один из множителей в знаменателе членов разложения (1(У) будет равен нулю.) Ряд в правой части (10") также сходится при всех значениях х > 0. Решения yi (ж) и у2(х) линейно независимы. Действительно, их отношение не является постоянным. 12.2. Г-функция Эйлера и ее свойства Для дальнейшего нам понадобятся некоторые свойства Г -функции Эйлера. Она определяется следующим образом: Интегрированием по частям получаем основное функциональное уравнение для Г-функции: Так как и вообще Можно показать еще, что С помощью функционального уравнения (11) можно определить гамма-функцию для отрицательных значений аргумента. Записав уравнение (11) в виде Г(р) = , замечаем, что для малых р выполняется соотношение Г(р) ~ £. Аналогично, если m - положительное целое число, то для значений р, близких к числу -ш, имеем Можно показать, что Г(р) Ф 0 при всяком р, поэтому функция щ будет непрерывной для всех значений р, если положить Возвратимся к решению уравнения Бесселя (7). Коэффициент oq до сих пор оставался произвольным. Если v Ф -п, где п > 0 - целое число, то, полагая найдем Подставляя это выражение для коэффициентов в (9), получаем Ряд (12) определяет функцию которая является решением уравнения Бесселя и называется функцией Бесселя первого рода и -го порядка. Ряд отвечает случаю а = -и (и - нецелое) и определяет второе решение уравнения (7), линейно независимое с функцией Итак, если v не равно целому числу (, то функции Jv(x) и J-v(x) образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя (7) и его общее решение имеет в этом случае вид При v целом выполняется линейная зависимость В самом деле, имеем Первые п членов ряда исчезают, так как а = 1. Введя обозначение т = к + п, находим Выпишем ряды для функций Бесселя первого рода нулевого (п = 0) и первого (n = 1) порядков: Функции Jb(x) и J\ (ж) (рис. 4) часто встречаются в приложениях, и для них имеются подробные таблицы. 12.4. Рекуррентные формулы для функций Бесселя Используя формулу непосредственно проверкой убеждаемся в том, что Точно таким же вычислением находим Раскрывая в левых частях формул (15) и (16) производные произведений, получаем соответственно равенства Складывая и вычитая (17) и (18), получим две важные рекуррентные формулы: Формула (19) показывает, что производные функций Бесселя выражаются через бесселевы же функции. Из формулы (20) вытекает, что, зная Jv{x) и Jv-\(x), можно найти (/1/+\(х). В частности, все функции Бесселя целых номеров выражаются через две функции Jo (ж) и J\{x)- Здесь оказывается полезным соотношение (14). При1/ = 1 из (20) находим, например, 12.5. Функции Бесселя полуцелого индекса Рассмотрим специальный класс бесселевых функций с индексом, равным половине нечетного целого числа. Этот класс встречается в приложениях и замечателен тем, что в рассматриваемом случае бесселевы функции могут быть выражены через элементарные. Так, при и = I путем несложных преобразований находим Аналогично, при получаем Обе эти формулы можно записать в виде Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера) 12.6. Нули бесселевых функций При решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулей функций Бесселя. Нули функций и J-x^x) совпадают с нулями sin х и cos х соответственно. Можно показать, что для больших значений х имеет место асимптотическое представление1* (сравните справедливое как для целых, так и для дробных v. Формула (22) показывает, как ведет себя функция Бесселя при возрастании аргумента. Это колеблющаяся функция, бесчисленное множество раз обращающаяся в нуль, причем амплитуда колебаний стремится к нулю при х -» +оо. Распределение нулей функции Бесселя с целым положительным индексом, т. е. корней уравнения устанавливается следующей теоремой. Теорема 18. Функция не имеет комплексных нулей, но имеет бесконечное множество действительных нулей, расположенных симметрично относительно точки х = 0, которая в случае п = 1,2,... принадлежит к их числу. Все нули функции простые за исключением точки х = 0, которая при п = 1,2,... является нулем кратности п соответственно. 12.7. Ортогональность и норма функций Бесселя Ортогональность функций Бесселя Рассмотрим дифференциальное уравнение где А - некоторый числовой параметр, отличный от нуля. Нетрудно проверить, что уравнению (23) удовлетворяет функция Бесселя Jv(\x). Перепишем уравнение (23) в виде и обозначим - какие-либо значения параметра А. Тогда будем иметь тождества Умножая первое тождество на), второе -) и вычитая одно из другого, получим Умножив все члены последнего тождества на ж, замечаем, что его можно записать в виде Интегрируя последнее тождество по ж в пределах от 0 до 1, будем иметь равенства (25) следует, что если Ai, Аг есть нули функции то левая часть (25), а значит, и правая, равны нулю, так что Это означает, согласно определению, что функции ортогональны с весом р(х) = х на отрезке с весом р 3. Пусть А|, Аг являются корнями уравнения где h - некоторое фиксированное число. Уравнение (28) встречается в математической физике и при v > -1 имеет бесконечное множество положительных корней, но не имеет комплексных корней (исключая случай, когда есть два чисто мнимых корня). Записав левую часть равенства (25) в виде убеждаемся в ортогональности бесселевых функций по нулям линейной комбинации хJu(x) - hji,(x) = 0 функции Бесселя и ее производной: где - корни уравнения (28). Норма функций Бесселя Величина 12.8. Функции Неймана (Вебера) Всякое нетривиальное решение уравнения Бесселя называют цилиндрической функцией. При v нецелом функции образуют функциональную систему решений уравнения Бесселя (7). При и = п - целом имеет место линейная зависимость Чтобы к решению Jr\x) подыскать такое, которое ему не пропорционально, поступаем так: при нецелом и составляем функцию Она является линейной комбинацией решений линейного однородного уравнения (7) и, следовательно, сама есть решение этого уравнения. Переходя в (30) к пределу при v -» п и пользуясь правилом Лопиталя, будем иметь Характерное свойство функций J/y\(х) (функций Бесселя 2-го рода) - наличие особенности в начале координат (рис. 5) Найденное решение уравнения Бес- селя (7) при v = п вместе с Jn(x) составляет фундаментальную систему решений уравнения Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера) Функцию.Л£(ж) называют также функцией Неймана или функцией Вебера. При достаточно больших х Таким образом, на больших расстояниях от начала координат цилиндрические функции 1 -го и 2-го рода относятся друг к другу как косинус и синус, но затухают с ростом х благодаря множителю Эти функции удобны для представления стоячих цилиндрических волн. По аналогии с показательными функциями (формулы Эйлера) можно построить линейную комбинацию функций Jv(x) и дающую функции, связанные с бе- гущими волнами. Так мы приходим к бесселевым функциям 3-го рода или функциям Ханкеля, определяемым соотношениями Упражнения Найдите общее решение уравнений: Найдите решение задачи Коши: Проинтегрируйте уравнения, найдя, где указано, частные решения: Найдите общие решения следующих линейных неоднородных дифференциальных уравне- Виды частных решений неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами для различных правых частей Правая часть*) дифференциальных уравнений Корни характеристического уравнения Виды частного решения 1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения Число 0 - корень характеристического уравнения кратности г 2. Число а не является корнем характеристического уравнения Число а является корнем характеристического уравнения кратности г 3. Числа ±»"/3 не являются корнями характеристического уравнения Числа ±«/9 являются корнями характеристического уравнения кратности г 4. Числа а ± i/З не являются корнями характеристического уравнения Числа a ± i/З являются корнями характеристического уравнения кратности г *) Первые три вида правых частей являются частными случаями четвертого. Укажите вид частных решений следующих линейных неоднородных уравнений: Методом вариации постоянных проинтегрируйте следующие уравнения: Проинтегрируйте следующие уравнения Эйлера: Ответы

БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ, цилиндрические функции 1-го рода; используются при изучении физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний и пр.), рассматриваемых в областях с круговой и цилиндрической симметрией. Бесселя функции являются решениями Бесселя уравнения.

Бесселя функции J p порядка (индекса) р, -∞<р<∞, представляется сходящимся при всех Х рядом

где Г - гамма-функция. График J p (х) при х > 0 представляет собой кривую с затухающими колебаниями; J p (х) имеет бесконечное множество нулей; первые слагаемые ряда дают асимптотику J p (х) при малых |х|, при больших х>0 справедливо асимптотическое представление

Бесселя функции порядка р = n + 1/2, где n - целое число, выражаются через элементарные функции; в частности,

µ n p - положительные корни уравнения J p (х) = 0, р > - 1/2, l - некоторое положительное число, образуют ортогональную с весом х систему на интервале (0, l).

Функция J 0 была впервые исследована Д. Бернулли в работе, посвящённой колебаниям тяжёлых цепей (1732). Л. Эйлер, рассматривая задачу о колебаниях круглой мембраны (1738), пришёл к уравнению Бесселя с целыми значениями р = n и нашёл выражение J n (х) в виде ряда по степеням х, позднее он распространил это выражение на случай произвольных значений р. Ф. Бессель в связи с изучением движения планет вокруг Солнца исследовал (1824) функции J p (х) и составил первые таблицы для J 0 (х), J 1 (х).

Лит.: Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М., 1949. Ч. 1-2; Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. 2-е изд. М.; Л., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М., 1974.

В соответствии с условиями сходимости этот ряд сходится во всех точках кроме точки t = 0, где он равен полусумме левого и правого пределов в этой точке . Это действительно так, потому что .

6.5. Функции Бесселя

Бесселевыми или цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения Бесселя

, (6.13)

где z – комплексная переменная, ν – параметр, порядок, значок или индекс, также может быть произвольным комплексным числом.

В приложениях часто приходится рассматривать случай, когда ν = n – целое число. Под цилиндрическими функциями понимают следующие функции: функции Бесселя J ν (z ), функции Неймана N ν (z ), часто называемые функциями Вебера с обозначением Y ν (z ), и функции Ганкеля H ν (1) (z ), H ν (2) (z ). Названные функции при фиксированном являются аналитическими функциями z . Часто функции Бесселя приходится рассматривать при фиксированном z как функции значка ν . При этом она является целой функцией комплексной переменной ν .

Целой функцией называется аналитическая функция, представимая всюду сходящимся рядом Тейлора .

Между функциями J ν (z ), N ν (z ) или Y ν (z ), H ν (1) (z ), H ν (2) (z ) имеют место зависимости, аналогичные формулам Эйлера:

; .

С физической точки зрения гармонические функции описывают незатухающие колебания постоянной частоты, в то время как функции Бесселя характеризуют слабозатухающий осциллирующий процесс, частота которого становится постоянной лишь в ассимптотике.

Отыскивая решение уравнения (6.13) в виде обобщённого степенного ряда , где a m и a – подлежащие определению коэффициенты и значение параметра соответственно, получим два частных решения:

; , (6.14)

которые при являются линейно независимыми и их линейная комбинация образует общее решение уравнения (6.13).

Если ν = n , то между функциями J п (z ) и J –п (z ) существует линейная зависимость вида .

Для получения общего решения уравнения (6.13) для ν = n и вводится функция Неймана

.

Функции J ν (z ) и N ν (z ) образуют фундаментальную линейно независимую систему решений уравнения Бесселя при любых значениях v , в том числе и при целых.

Функции Бесселя чисто мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя).

; .

Входящие в эти выражения ряды и определяют модифицированные функции Бесселя

; . (6.15)

То, что ряды (6.14) являются знакопеременными, а (6.15) – знакопостоянными определяет резкое различие в их поведении (см. рис.6.9 и рис.6.10, на которых представлены графики функций J n (x ) и I n (x ) соответственно).

.

В частности, при с учётом того, что , получим:

.

Три соседних по значку функций Бесселя связаны соотношением

. (6.16)

Аналогичные формулы имеют место и для модифицированных функций Бесселя:

; .

Из определения (6.15), учитывая поведение гамма-функции при отрицательных целых значениях аргумента, нетрудно показать, что I -n (x ) = I n (x ) и, следовательно, .

При полуцелом значке , где n – целое число, функции Бесселя выражаются через элементарные функции, так как выполняются соотношения и , что позволяет с помощью рекуррентного соотношения (6.16) определить и так далее.

ФункциЯ Бесселя первого рода

Описывает радиальную зависимость в задачах колебаний, волн, теплопроводности, диффузии, теории потенциала.

При функция Бесселя называется цилиндрической функцией . В цилиндрических координатах является фурье-образомn -ого порядка по угловой переменной для гармонической волны.

Множество с одинаковым μ образует ортонормированный базис с непрерывным спектром по параметру .

исследовал Даниил Бернулли в 1732 г.

ввел Леонард Эйлер в 1764 г.

Фридрих Вильгельм Бессель составил таблицы J 0 , J 1 , J 2 для описания движения планет в 1824 г.

Название функциям дал Оскар Шлемильх в 1857 г.

Даниил Бернулли (1700–1782) Леонард Эйлер (1707–1783)

Фридрих Вильгельм Бессель (1784–1846)

Бессель – профессор Кенигсбергского университета, самостоятельно изучил математику и астрономию, в гимназии и в университете не учился. Исследовал комету Галлея, основал обсерваторию в Кёнигсберге, измерил расстояния до звезд по их параллаксам, провел геодезическую съемку территории Восточной Пруссии . Его именем назван кратер на Луне .

Уравнения Бесселя и Ломмеля

Функция Бесселя является частным решениемуравнения Бесселя

. (8.1)

Для расширения области применимости уравнения Бесселя усложняем его заменой аргумента и функции, и вводим новые параметры . Это дает уравнение Ломмеля

. (8.2)

Подстановка в (8.2)

преобразует (8.2) в (8.1) с аргументом z . При , уравнение (8.2) переходит в (8.1).

В уравнениях (8.1) и (8.2) величина μ имеет вторую степень, поэтому общее решение (8.2) содержит независимые слагаемые, отличающиеся знаком μ:

Уравнение получил Евгений Ломмель (1837–1899) в 1868 г.

Интегральное представление Пуассона

Решение уравнения (8.1) методом факторизации дает интегральное представление Пуассона

, (8.5)

где использована формула Эйлера

,

и учтена четность функций косинуса и синуса.

Заменяем

, ,

. (8.6)

Из (8.6) при получаем

, (8.7)

.

Выполняется нормировка

Симеон Дени Пуассон (1781–1840)

Пуассон – математик, механик, физик, профессор Парижского университета, окончил Политехническую школу в Париже. Ввел понятие потенциала в электростатику и получил «дифференциальное уравнение Пуассона », связывающее потенциал системы зарядов с их распределением в пространстве. Для случайной величины доказал «распределение Пуассона ». Установил связь между продольной и поперечной деформациями тела – «коэффициент Пуассона ». Вычислил «интеграл Пуассона », доказал «формулу суммирования Пуассона ». В механике ввел «скобки Пуассона » – перестановочные соотношения для величин. Наполеон возвел его в бароны, Луи-Филипп сделал пэром Франции. Цитата – «Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием» .

В частности

Предел x ® 0

Главный вклад в (8.9) при вносит

,

, (8.11)

Предел x ® ¥

Используем уравнение Ломмеля (8.2) и его решение (8.3)

,

с параметрами , :

,

.

Выражаем функцию Бесселя

.

При получаем уравнение

Находим общее решение

.

В результате

. (8.12)

При функция периодически проходит через нуль, амплитуда колебаний уменьшается .

Детальный анализ дает значения a и A

,

. (8.12а)

Нули функции Бесселя

,

где m – порядковый номер нуля. Для J 0 и J 1 числовой расчет дает

x 0,1 = 2,405; x 0,2 = 5,520; x 0,3 = 8,654; …

x 1,1 = 3,832; x 1,2 = 7,016; x 1,3 = 10,174 …

Нормировка

Выполняется

, (8.14)

. (8.14а)

Доказательство :

Рекуррентное соотношение, которое будет получено далее:

интегрируем по интервалу

, ,

где использовано

, (8.11)

. (8.12а)

Следовательно,

Не зависит от m. Полагаем , учитываем соотношение, которое будет получено в дальнейшем:

и получаем

.

Площадь под кривой функции Бесселя произвольного порядка равна единице .

Производящая функция

К интегральному представлению Зоммерфельда (8.16)

,

,

применяем обратное преобразование Фурье (1.48)

.

Получаем разложение Фурье по угловой переменной для плоской волны, движущейся под углом φ к оси x :

(8.26)

В (8.26) заменяем

,

находим производящую функцию

. (8.27)

Ряды функций Бесселя

(8.26)

выделяем вещественную и мнимую части

,

.

Учитываем (8.22)

,

получаем

, (8.28)

. (8.29)

При из (8.28) получаем

. (8.30)

(8.26)

заменяем

, (8.31)

где учтено

,

.

В (8.31) выделяем вещественную и мнимую части

, (8.32)

, (8.33)

где учтено

.

При из (8.32) и (8.33)

, (8.34)

. (8.35)

Рекуррентные соотношения

1. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по x

,

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Обобщаем на случай произвольного порядка

Замена x на bx дает

. (8.36а)

2. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по t

,

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Для произвольного порядка

. (8.37)

3. Складываем и вычитаем (8.37) и

, (8.38)

. (8.39)

4. Умножаем (8.38) на и сворачиваем правую сторону

. (8.40)

5. Симметризуем (8.40)

.

По индукции

. (8.41)

6. Умножая (8.39) на и сворачиваем правую сторону

получаем

. (8.42)

7. Симметризуем (8.42)

.

По индукции

. (8.43)

Частные соотношения

(8.39)

. (8.44)

Из (8.36)–(8.44):

,

,

,

,

,

,

,

,

,

. (8.46)

Условие ортонормированности

образует непрерывный базис с условием ортонормированности

, . (8.48)

Доказательство :

Записываем уравнение Ломмеля

, (8.2)

, (8.3)

при , , и для функций и

,

.

Умножаем первое равенство на xv , второе – на xu и вычитаем результаты

Преобразуем левую сторону

Интегрируем по x от 0 до ∞

. (8.47)

Левая сторона на нижнем пределе дает нуль. На верхнем пределе используем (8.12а)

,

,

.

В результате

.

Учитываем

,

Для нахождения интегрируем равенство по р от 0 до ∞, меняем порядок интегрирований, и используем условие нормировки

. (8.14)

Получаем

, ,

и доказано (6.48).

При не нулевой вклад в

, . (8.48)

дает только и , тогда

, . (8.49)

Доказательство :

Умножаем (8.49) на , где , и интегрируем по k от 0 до ∞

.

Меняем порядок интегрирований и учитываем

,

.

Внутренний интеграл дает (8.48)

,

и получаем тождество.

Графики

,

Сферическая функция Бесселя

, (8.57)

Функция описывает в сферических координатах радиальную зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k .

Набор при образует ортонормированный базис с непрерывным спектром .

Дифференциальное уравнение

Уравнения для и совпадают, тогда выполняется

Явный вид функции

Используем (8.57)

после замены .

В результате сферическая функция Бесселя

. (8.59)

Свойство четности

Из (8.59) получаем

. (8.61)

Функции низших порядков

Из (8.59) получаем

,

,

. (8.62)

Предел x ® ¥

Используем

(8.12а)

. (8.63)

, (8.57)

получаем

,

. (8.64)

Предел x ® 0

, (8.11)

Подставляем в (8.57)

при . Из (8.57)

выражаем

,

,

получаем условие ортонормированности

, . (8.66)

2. При не нулевой вклад в (8.66) дает только , используя , находим

, . (8.67)

Доказательство :

Обе стороны (8.67) умножаем на , где , и интегрируем по интервалу . В левой стороне меняем порядок интегрирований и используем (8.66)

Правая сторона дает тот же результат

,

где учтено

.

, , (8.67)

(8.62)

. (8.68)

Рекуррентные соотношения

1. Подставляем (8.57)

при . Получаем

Из (8.70) выражаем

,

подставляем в последнее равенство, и получаем

. (8.71)

3. Выполняются соотношения

, (8.72)

, (8.74)

. (8.75)

Функция Эйри первого рода

Описывает:

– дифракцию волн,

– состояние квантовой частицы в однородном поле,

– состояние частицы в треугольной потенциальной яме,

– состояние частицы вблизи точки поворота классического движения.

Функцию ввел английский астроном Эйри в 1838 г. при исследовании дифракции света.

Сэр Джордж Биддель Эйри (1801–1892)

Директор Гринвичской обсерватории, президент Лондонского королевского общества. Разработал теорию дифракции света на объективе телескопа. Центральное светлое пятно в центре картины дифракции на круглом отверстии называется «диск Эйри ».

Уравнение Эйри

Функция Эйри является частным решением (8.76).

Связь с функцией Бесселя

Сравниваем (8.76) с уравнением Ломмеля

,

Общее решение

Мнимый аргумент усложняет анализ, ищем другой путь решения.

В области отрицательного аргумента уравнение (8.76) получает вид

Совпадает с уравнением Ломмеля с параметрами

Получаем общее решение

Функция Эйри первого рода

Является частным решением (8.79) с коэффициентами

Условия нормировки

При малом аргументе учитываем (8.11)

,

из (8.80) находим

первое слагаемое дает нуль. Нормировка

. (8.81)

Интегральная нормировка

(8.82)

следует из (8.84). Выполняется

,

. (8.82а)

Доказательство (8.82а):

При используем (8.80) и заменяем

,

. (8.14).

Интегральное представление

Получим функцию Эйри положительного аргумента путем решения уравнения Эйри методом Фурье-преобразования.

Используем

, (1.35)

. (1.37) . состояния с проекцией орбитального момента 2. Переходим к полярным координатам определяем

Порядков.

Хотя $\backslash alpha$ и $(-\backslash alpha)$ порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по $\backslash alpha$).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли , а названы в честь Фридриха Бесселя .

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

• электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе ;
• теплопроводность в цилиндрических объектах;
• формы колебания тонкой круглой мембраны;
• распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
• скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
• волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми $J\_\backslash alpha(x)$, являются решения, конечные в точке $x=0$ при целых или неотрицательных $\backslash alpha$. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых $\backslash alpha$):

$J\_\backslash alpha(x)\; =\; \backslash sum\_\{m=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^m\}\{m!\backslash ,\; \backslash Gamma(m+\backslash alpha+1)\}\; \{\backslash left(\{\backslash frac\{x\}\{2\}\}\backslash right)\}^\{2m+\backslash alpha\}$

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

$y(x)\; =\; C\_1\; J\_\backslash alpha(x)\; +\; C\_2\; Y\_\backslash alpha(x).$

Ниже приведён график $Y\_\backslash alpha\; (x)$ для $\backslash alpha\; =\; 0$, 1 и 2:

Свойства

Ортогональность

Пусть $\backslash mu\_1$ и $\backslash mu\_2$ - нули функции Бесселя $J\_\{\backslash alpha\}(x)$. Тогда :

$\backslash int\_\{0\}^\{1\}\{x\; J\_\{\backslash alpha\}(\backslash mu\_1\; x)\; J\_\{\backslash alpha\}(\backslash mu\_2\; x)\; dx\}\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash begin\{matrix\}$

0 & \mbox{;}\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\ \frac{1}{2}(J"_{\alpha}(\mu_1))^2 & \mbox{;}\quad\mu_1=\mu_2

\end{matrix} \right. .

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах и неотрицательных $\backslash alpha$ они выглядят так :

$J\_\backslash alpha(x)\; \backslash rightarrow\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(\backslash alpha+1)\}\; \backslash left(\backslash frac\{x\}\{2\}\; \backslash right)\; ^\backslash alpha\; ,$

\end{matrix} \right. ,

$J\_\backslash alpha(z)=\backslash frac\{(z/2)^\backslash alpha\}\{\backslash Gamma(\backslash alpha+1)\}\; \{\}\_0F\_1\; (\backslash alpha+1;\; -z^2/4).$

Таким образом, при целых $\backslash alpha$ функция Бесселя однозначная аналитическая , а при нецелых - многозначная аналитическая .

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно:

$e^\{\backslash frac\{z\}\{2\}\backslash left(w-\backslash frac\{1\}\{w\}\backslash right)\}=\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}J\_n(z)w^n\; .$

Соотношения

Формула Якоби - Ангера и связанные с ней

Получается выражения для производящей при $a=1$, $t=e^\{i\backslash phi\}$:

$e^\{iz\backslash sin\backslash phi\}=J\_0(z)+2\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; J\_\{2n\}(z)\backslash cos(2n\backslash phi)+2i\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; J\_\{2n-1\}(z)\backslash sin(2n-1)\backslash phi.$

При $a=1$, $t=ie^\{i\backslash phi\}$:

$e^\{iz\backslash cos\backslash phi\}=J\_0(z)+2\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; i^nJ\_n(z)\backslash cos(n\backslash phi).$

Теорема сложения

Для любого целого $n$ и комплексных $z\_1$ и $z\_2$ выполняется

$J\_n(z\_1+z\_2)\; =\; \backslash sum\_\{k=-\backslash infty\}^\backslash infty\; J\_k(z\_1)\; J\_\{n-k\}(z\_2).$

Интегральные выражения

Для любых $a$ и $b$ (в том числе комплексных) выполняется

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-at\}J\_n(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac\{b^n\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}(\backslash sqrt\{a^2+b^2\}+a)^n\}.$

Частным случаем последней формулы является выражение

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-at\}J\_0(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}.$

См. также

Напишите отзыв о статье "Функции Бесселя"

Примечания

Литература

• Ватсон Г. Теория бесселевых функций. - М .: ИЛ , 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. - М .: Наука , 1974. - 296 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М .: Наука , 1973. - 736 с.

Отрывок, характеризующий Функции Бесселя

В гостиной продолжался разговор.
– Ah! chere, – говорила графиня, – и в моей жизни tout n"est pas rose. Разве я не вижу, что du train, que nous allons, [не всё розы. – при нашем образе жизни,] нашего состояния нам не надолго! И всё это клуб, и его доброта. В деревне мы живем, разве мы отдыхаем? Театры, охоты и Бог знает что. Да что обо мне говорить! Ну, как же ты это всё устроила? Я часто на тебя удивляюсь, Annette, как это ты, в свои годы, скачешь в повозке одна, в Москву, в Петербург, ко всем министрам, ко всей знати, со всеми умеешь обойтись, удивляюсь! Ну, как же это устроилось? Вот я ничего этого не умею.
– Ах, душа моя! – отвечала княгиня Анна Михайловна. – Не дай Бог тебе узнать, как тяжело остаться вдовой без подпоры и с сыном, которого любишь до обожания. Всему научишься, – продолжала она с некоторою гордостью. – Процесс мой меня научил. Ежели мне нужно видеть кого нибудь из этих тузов, я пишу записку: «princesse une telle [княгиня такая то] желает видеть такого то» и еду сама на извозчике хоть два, хоть три раза, хоть четыре, до тех пор, пока не добьюсь того, что мне надо. Мне всё равно, что бы обо мне ни думали.
– Ну, как же, кого ты просила о Бореньке? – спросила графиня. – Ведь вот твой уже офицер гвардии, а Николушка идет юнкером. Некому похлопотать. Ты кого просила?
– Князя Василия. Он был очень мил. Сейчас на всё согласился, доложил государю, – говорила княгиня Анна Михайловна с восторгом, совершенно забыв всё унижение, через которое она прошла для достижения своей цели.
– Что он постарел, князь Василий? – спросила графиня. – Я его не видала с наших театров у Румянцевых. И думаю, забыл про меня. Il me faisait la cour, [Он за мной волочился,] – вспомнила графиня с улыбкой.
– Всё такой же, – отвечала Анна Михайловна, – любезен, рассыпается. Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [Высокое положение не вскружило ему головы нисколько.] «Я жалею, что слишком мало могу вам сделать, милая княгиня, – он мне говорит, – приказывайте». Нет, он славный человек и родной прекрасный. Но ты знаешь, Nathalieie, мою любовь к сыну. Я не знаю, чего я не сделала бы для его счастья. А обстоятельства мои до того дурны, – продолжала Анна Михайловна с грустью и понижая голос, – до того дурны, что я теперь в самом ужасном положении. Мой несчастный процесс съедает всё, что я имею, и не подвигается. У меня нет, можешь себе представить, a la lettre [буквально] нет гривенника денег, и я не знаю, на что обмундировать Бориса. – Она вынула платок и заплакала. – Мне нужно пятьсот рублей, а у меня одна двадцатипятирублевая бумажка. Я в таком положении… Одна моя надежда теперь на графа Кирилла Владимировича Безухова. Ежели он не захочет поддержать своего крестника, – ведь он крестил Борю, – и назначить ему что нибудь на содержание, то все мои хлопоты пропадут: мне не на что будет обмундировать его.
Графиня прослезилась и молча соображала что то.
– Часто думаю, может, это и грех, – сказала княгиня, – а часто думаю: вот граф Кирилл Владимирович Безухой живет один… это огромное состояние… и для чего живет? Ему жизнь в тягость, а Боре только начинать жить.
– Он, верно, оставит что нибудь Борису, – сказала графиня.
– Бог знает, chere amie! [милый друг!] Эти богачи и вельможи такие эгоисты. Но я всё таки поеду сейчас к нему с Борисом и прямо скажу, в чем дело. Пускай обо мне думают, что хотят, мне, право, всё равно, когда судьба сына зависит от этого. – Княгиня поднялась. – Теперь два часа, а в четыре часа вы обедаете. Я успею съездить.
И с приемами петербургской деловой барыни, умеющей пользоваться временем, Анна Михайловна послала за сыном и вместе с ним вышла в переднюю.
– Прощай, душа моя, – сказала она графине, которая провожала ее до двери, – пожелай мне успеха, – прибавила она шопотом от сына.
– Вы к графу Кириллу Владимировичу, ma chere? – сказал граф из столовой, выходя тоже в переднюю. – Коли ему лучше, зовите Пьера ко мне обедать. Ведь он у меня бывал, с детьми танцовал. Зовите непременно, ma chere. Ну, посмотрим, как то отличится нынче Тарас. Говорит, что у графа Орлова такого обеда не бывало, какой у нас будет.