Данная теорема устанавливает количественную взаимосвязь между работой силы (причиной) и кинетической энергией материальной точки (следствием).
Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости
.
(43)
Кинетическая энергия характеризует то механическое действие силы, которое может превратиться в другие виды энергии, например, в тепловую.
Работой силы на данном перемещении называется характеристика того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости.
Элементарная работа силы определяется как скалярное произведение вектора силы на элементарный вектор перемещения в точке ее приложения
,
(44)
где
-
элементарное перемещение.
Модуль элементарной работы определяется формулой
где
- угол между вектором силы и вектором
элементарного перемещения;
-
проекция вектора силы на касательную.
Полная работа на некотором конечном перемещении определяется интегралом
.
(46)
Из (46) следует, что полная работа может быть вычислена в двух случаях, когда сила постоянная или зависит то перемещения.
При
F
=const
получаем
.
При решении задач часто удобно пользоваться аналитическим способом вычисления силы
где F x , F y , F z – проекции силы на координатные оси.
Докажем следующую теорему.
Теорема : Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.
Пусть материальная точка M массы m движется под действием силы F из положения M 0 в положение M 1 .
ОУД:
.
(47)
Введем
подстановку
и спроектируем (47)
на касательную
.
(48)
Разделяем в (48) переменные и интегрируем
В результате получим
.
(49)
Уравнение (49) доказывает сформулированную выше теорему.
Теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и искомых параметров присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и перемещение.
Вычисление работы характерных сил.
1. Работа силы тяжести вычисляется как произведение модуля силы на перемещение точки ее приложения по вертикали
.
(50)
При перемещении вверх работа положительная, при перемещении вниз – отрицательная.
2. Работа упругой силы пружины F =-cx равна
,
(51)
где x 0 – начальное удлинение (сжатие) пружины;
x 1 – конечное удлинение (сжатие) пружины.
Работа силы тяжести и упругой силы не зависят от траектории перемещения их точек приложения. Такие силы, работа которых не зависит от траектории, называются потенциальными силами .
3. Работа силы трения .
Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную направлению перемещения, то ее работа равна
Работа силы трения всегда отрицательная . Силы работа которых всегда отрицательна, называются диссипативными .
Пример решения задачи с применением теоремы об изменении кинетической энергии системы с твердыми телами, блоками, шкивами и пружиной.
СодержаниеУсловие задачи
Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R 3 = 0,3 м , r 3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ 3 = 0,2 м , блока 4 радиуса R 4 = 0,2 м и подвижного блока 5. Блок 5 считать сплошным однородным цилиндром. Коэффициент трения груза 2 о плоскость f = 0,1 . Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К подвижному блоку 5 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с = 280 Н/м .
Под действием силы F = f(s) = 80(6 + 7 s) Н , зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. Деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент M = 1,6 Н·м сил сопротивления (от трения в подшипниках). Массы тел: m 1 = 0 , m 2 = 5 кг , m 3 = 6 кг , m 4 = 0 , m 5 = 4 кг .
Определить значение центра масс тела 5 V C5 в тот момент времени, когда перемещение s груза 1 станет равным s 1 = 0,2 м .
Указание . При решении задачи использовать теорему об изменении кинетической энергии .
Решение задачи
Дано: R 3 = 0,3 м , r 3 = 0,1 м , ρ 3 = 0,2 м , R 4 = 0,2 м , f = 0,1 , с = 280 Н/м , m 1 = 0 , m 2 = 5 кг , m 3 = 6 кг , m 4 = 0 , m 5 = 4 кг , F = f(s) = 80(6 + 7 s) Н , s 1 = 0,2 м .
Найти: V C5 .
Обозначения переменных
R 3
, r 3
- радиусы ступеней шкива 3;
ρ 3
- радиус инерции шкива 3 относительно оси вращения;
R 5
- радиус блока 5;
V 1
,
V 2
- скорости тел 1 и 2;
ω 3
- угловая скорость вращения шкива 3;
V C5
- скорость центра масс C 5
блока 5;
ω 5
- угловая скорость вращения блока 5;
s 1
,
s 2
- перемещение тел 1 и 2;
φ 3
- угол поворота шкива 3;
s C5
- перемещение центра масс C 5
блока 5;
s A
,
s B
- перемещение точек A и B.
Установление кинематических соотношений
Установим кинематические соотношения. Поскольку грузы 1 и 2 связаны одной нитью, то их скорости равны:
V 2
= V 1
.
Поскольку нить, соединяющая грузы 1 и 2 намотана на внешнюю ступень шкива 3, то точки внешней ступени шкива 3 движутся со скоростью V 2
= V 1
.
Тогда угловая скорость вращения шкива:
.
Скорость центра масс V C5
блока 5 равна скорости точек внутренней ступени шкива 3:
.
Скорость точки K равна нулю. Поэтому она является мгновенным центром скоростей блока 5. Угловая скорость вращения блока 5:
.
Скорость точки B - свободного конца пружины - равна скорости точки A:
.
Выразим скорости через V C5
.
;
;
.
Теперь установим связи между перемещениями тел и углами поворота
шкива и блока. Поскольку скорости и угловые скорости являются производными по времени от перемещений и углов поворота
,
то такие же связи будут между перемещениями и углами поворота:
s 2
= s 1
;
;
;
.
Определение кинетической энергии системы
Найдем кинетическую энергию системы. Груз 2 совершает поступательное движение со скоростью V 2
.
Шкив 3 совершает вращательное движение с угловой скоростью вращения ω 3
.
Блок 5 совершает плоскопараллельное движение. Он вращается с угловой скоростью ω 5
и его центр масс движется со скоростью V C5
.
Кинетическая энергия системы:
.
Поскольку радиус инерции шкива относительно оси вращения задан, то момент инерции шкива относительно оси вращения определяется по формуле:
J 3
= m 3
ρ 2 3
.
Поскольку блок 5 является сплошным однородным цилиндром, то его момент инерции относительно центра масс равен
.
С помощью кинематических соотношений выражаем все скорости через V C5
и подставляем выражения для моментов инерции в формулу для кинетической энергии.
,
где мы ввели постоянную
кг.
Итак, мы нашли зависимость кинетической энергии системы от скорости центра масс V C5
подвижного блока:
, где m = 75
кг.
Определение суммы работ внешних сил
Рассмотрим внешние силы
, действующие на систему.
При этом мы не рассматриваем силы натяжения нитей, поскольку нити нерастяжимые и, поэтому, они не производят работу. По этой причине мы не рассматриваем внутренние напряжения, действующие в телах, поскольку они являются абсолютно твердыми.
На тело 1 (с нулевой массой) действует заданная сила F
.
На груз 2 действует сила тяжести P 2
= m 2
g
2
и сила трения F T
.
На шкив 3 действует сила тяжести P 3
= m 3
g
,
сила давления оси N 3
и момент сил трения M
.
На шкив 4 (с нулевой массой) действует сила давления оси N 4
.
На подвижный блок 5 действует сила тяжести P 5
= m 5
g
,
сила упругости F y
пружины и сила натяжения нити T K
в точке K
.
Работа, которую совершает сила при перемещении точки ее приложения на малое смещение равна скалярному произведению векторов , то есть произведению модулей векторов F
и ds
на косинус угла между ними. Заданная сила ,
приложенная к телу 1, параллельна перемещению тела 1. Поэтому работа, которую совершает сила , при перемещении тела 1 на расстояние s 1
равна:
Дж.
Рассмотрим груз 2. На него действуют сила тяжести P 2
,
сила давления поверхности N 2
,
силы натяжения нитей T 23
,
T 24
и сила трения F T
.
Поскольку груз не совершает перемещения в вертикальном направлении, то проекция его ускорения на вертикальную ось равна нулю. Поэтому сумма проекций сил на вертикальную ось равна нулю:
N 2
- P 2 = 0
;
N 2
= P 2
= m 2
g
.
Сила трения:
F T = f N 2
= f m 2
g
.
Силы P 2
и N 2
перпендикулярны перемещению s 2
,
поэтому они работу не производят.
Работа силы трения:
Дж.
Если рассматривать груз 2 как изолированную систему, то нужно учитывать работу, произведенную силами натяжения нитей T 23 и T 24 . Однако нас интересует вся система, состоящая из тел 1, 2, 3, 4 и 5. Для такой системы силы натяжения нитей являются внутренними силами. А поскольку нити нерастяжимые, то сумма их работ равна нулю. В случае с грузом 2, нужно еще учесть силы натяжения нитей, действующих на шкив 3 и блок 4. Они равны по величине и противоположны по направлению силам T 23 и T 24 . Поэтому работа, производимая силами натяжения нитей 23 и 24 над грузом 2 равна по величине и противоположна по знаку работе, производимой силами натяжения этих нитей над шкивом 3 и блоком 4. В результате сумма работ, производимая силами натяжения нитей равна нулю.
Рассмотрим шкив 3. Поскольку его центр масс не перемещается, то работа силы тяжести P 3
равна нулю.
Поскольку ось C 3
неподвижна, то сила давления оси N 3
работу не производит.
Работа, произведенная моментом сил , вычисляется аналогично работе, произведенной силой :
.
В нашем случае, векторы момента сил трения и угла поворота шкива направлены вдоль оси вращения шкива, но противоположны по направлению. Поэтому работа момента сил трения:
Дж.
Рассмотрим блок 5.
Поскольку скорость точки K
равна нулю, то сила T K
работу не производит.
Центр масс блока C 5
переместился на расстояние s C5
вверх. Поэтому работа силы тяжести блока равна:
Дж.
Работа силы упругости пружины равна изменению потенциальной энергии пружины со знаком минус. Поскольку вначале пружина не деформирована, то
Дж.
Сумма работ всех сил:
Дж.
Применение теоремы об изменении кинетической энергии системы
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме.
.
Поскольку в начале система покоилась, то ее кинетическая энергия в начале движения
T 0 = 0
.
Тогда
.
Отсюда
м/с.
Скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы, называется кинетической энергией системы.
Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движения системы. На ее изменение влияет действие внешних сил и так как она является скаляром, то не зависит от направления движения частей системы.
Найдем кинетическую энергию при различных случаях движения:
1. Поступательное движение
Скорости всех точек системы равны скорости центра масс . Тогда
Кинетическая энергия системы при поступательном движении равна половине произведения массы системы на квадрат скорости центра масс.
2. Вращательное движение (рис. 77)
Скорость любой точки тела: . Тогда
или используя формулу (15.3.1):
Кинетическая энергия тела при вращении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
3. Плоскопараллельное движение
При данном движении кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательных движений
Общий случай движения дает формулу, для вычисления кинетической энергии, аналогичную последней.
Определение работы и мощности мы сделали в параграфе 3 главы 14. Здесь же мы рассмотрим примеры вычисления работы и мощности сил действующих на механическую систему.
1. Работа сил тяжести
. Пусть , координаты начального и конечного положения точки k тела. Работа силы тяжести действующих на эту частицу веса будет 
. Тогда полная работа:
где Р - вес системы материальных точек, - вертикальное перемещение центра тяжести С.
2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу .
Согласно соотношению (14.3.1) можно записать , но ds согласно рисунку 74, в силу бесконечной малости можно представить в виде 
- бесконечно малый угол поворота тела. Тогда
Величина 
называется вращающим моментом.
Формулу (19.1.6) перепишем как
Элементарная работа равна произведению вращательного момента на элементарный поворот .
При повороте на конечный угол имеем:
Если вращательный момент постоянен , то
а мощность определим из соотношения (14.3.5)
как произведение вращающего момента на угловую скорость тела.
Теорема об изменении кинетической энергии доказанная для точки (§ 14.4) будет справедлива для любой точки системы
Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно получаем:
или, согласно (19.1.1):
что является выражением теоремы о кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Проинтегрировав (19.2.2) получаем:
Теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее конечном перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
Подчеркнем, что внутренние силы не исключаются. Для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и
Если связи, наложенные на систему, не изменяются со временем, то силы, как внешние так и внутренние, можно разделить на активные и реакции связей, и уравнение (19.2.2) теперь можно записать:
В динамике вводится такое понятие как "идеальная" механическая система. Это такая система, наличие связей у которой не влияет на изменение кинетической энергии, то есть
Такие связи, не изменяющиеся со временем и сумма работ которых на элементарном перемещении равна нулю, называются идеальными, и уравнение (19.2.5) запишется:
Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое
П = А (мо) (19.3.1)
Потенциальная энергия зависит от положения точки М, то есть от ее координат
П = П(х,у,z) (19.3.2)
Поясним здесь, что силовым полем называется часть пространственного объема, в каждой точке которого на частицу действует определенная по модулю и направлению сила, зависящая от положения частицы, то есть от координат х, у, z. Например, поле тяготения Земли.
Функция U от координат, дифференциал которой равен работе, называется силовой функцией . Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем , а силы действующие в этом поле, - потенциальными силами .
Пусть нулевые точки для двух силовых функций П(х,у,z) и U(x,y,z) совпадают.
По формуле (14.3.5) получаем , т.е. dA = dU(x,y,z) и
где U - значение силовой функции в точке М. Отсюда
П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)
Потенциальная энергия в любой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.
То есть, при рассмотрении свойств силового поля вместо силовой функции можно рассматривать потенциальную энергию и, в частности, уравнение (19.3.3) перепишется как
Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном положении.
В частности работа силы тяжести:
Пусть все силы, действующие на систему, будут потенциальными. Тогда для каждой точки k системы работа равна
Тогда для всех сил, как внешних, так и внутренних будет
где - потенциальная энергия всей системы.
Подставляем эти суммы в выражение для кинетической энергии (19.2.3):
или окончательно:
При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергии системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. Это закон сохранения механической энергии.
Груз массой 1 кг совершает свободные колебания согласно закону х = 0,1sinl0t. Коэффициент жесткости пружины с = 100 Н/м. Определить полную механическую энергию груза при х = 0,05м, если при х= 0 потенциальная энергия равна нулю 
. (0,5)
Груз массой m = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 . Определить кинетическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза v = 2м/с 
. (10,5)
Лекция 5. Теорема об изменении кинетической энергии
5. 1. Работа силы
Пусть сила 
– равнодействующая всех сил системы, приложена к точке Р, а (dx
,
dy
,
dz
)
– элементарное перемещение точки Р вдоль ее траектории Р 1 Р 2 (рис. 5.1). Элементарной работой d
А
силы называют скалярное произведение
Элементарная работа является скалярной величиной. Если - угол между силой и направлением перемещения , то выражение (5.1) можно представить в виде
где - проекция силы на направление элементарного перемещения (или направление скорости точки).
Знак элементарной работы зависит от знака функции . Если - острый угол, то , если - тупой угол, то , если , то .
Пусть точка Р совершает конечное перемещение из положения в положение , описывая дугу . Разобьем дугу на n произвольных малых участков, обозначив длину участка с номером k через . Тогда элементарная работа силы на k -м участке будет равна , а на всем пути от до - сумме работ на отдельных участках
Точное значение работы получим, переходя к пределу, при условии, что число участков n неограниченно возрастает, а длина каждого участка убывает:
.
Такой предел называется криволинейным интегралом первого рода по дуге и записывается следующим образом
. (5.3)
Результат интегрирования является полной работой А силы F на рассматриваемом конечном перемещении вдоль пути .
5. 1. 1. Работа силы тяжести
Пусть m – масса точки, g – ускорение свободного падения. Тогда
Вычисляя работу по формулам (5.1) и (5.3), имеем
где - высота опускания точки.
При подъеме точки , следовательно, .
5. 1. 2. Работа линейной силы упругости
Пусть материальная точка Р движется вдоль оси Ох (рис. 5.3) под действием пружины, к которой она прикреплена. Если при , , то пружина деформирована и при малых отклонениях точки можно считать, что со стороны пружины к ней приложена сила упругости . Тогда работа силы упругости на перемещении x 0 x 1 будет равна
. (5.5)
Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинения (или сжатий) пружины.
5. 1. 3. Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу
Рассмотрим движение тела в плоскости. Пусть О – произвольно выбранная точка на твердом теле (рис.5.4). Назовем ее полюсом. Тогда движение тела в плоскости можно представить как сумму простейших: поступательного движения вместе с полюсом и вращение тела вокруг полюса. Тогда, скорость точки относительно неподвижной системы координат определится как геометрическая сумма двух скоростей
где - скорость полюса, - вектор угловой скорости твердого тела, – скорость Эйлера, т е. скорость точки при ее ращении вокруг полюса.
Будем представлять твердое тело как механическую систему, состоящую из N отдельных точек, взаимное расстояние между которыми не изменяется.
Вычислим смещение точки под действием силы :
Тогда .
Элементарная работа, согласно (5.1), запишется следующим образом
Воспользовавшись свойствами смешенного произведения векторов 
, перепишем последнее выражение в виде
Пусть - равнодействующая всех сил, внешних и внутренних (рис5.4), приложенных в точке тела, т.е.
.
Тогда (а) запишется так
Согласно (3.1 и 3.2), главный вектор и главный момент внутренних сил системы равны нулю, получаем
здесь: 
– главный вектор, 
– главный момент внешних сил относительно точки О
.
Частные случаи
A. Поступательное движение твердого тела . Все точки тела имеют одинаковые перемещения (рис. 5.5, а) и по модулю, и по направлению, тогда, из (5.6), получим (здесь ):
. (5.7)
B. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси . Пусть ось z проходит через полюс О (рис. 5.5б). Тогда , ; из (5.6) получим
. (5.8)
Пример. Катушка массой m и радиусом R приводится в движение постоянной силой F , приложенной в точке А (рис. 5.6). Катушка катится вправо без скольжения по шероховатой поверхности.
Вычислить работу всех внешних сил, если центр катушки переместился на расстояние , - коэффициент трения качения, - сила трения, r – радиус сердечника катушки, к которой приложена сила.
Решение. Катушка совершает плоское движение. Так как качение происходит без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью, т.е. в точке Р (рис.5.6). Направим ось S по горизонтали вправо. В соответствии с направлением движения примем положительное направление угла поворота против хода часовой стрелки.
Пусть центр катушки С переместится на . При этом катушка повернется на угол . Тогда , откуда
Приняв точку Р за мгновенную ось вращения, вычислим элементарную работу по формуле (5.8):
(а)
Здесь: линии действия сил и mg пересекают ось вращения, поэтому ; далее , где N – сила нормальной реакции.
Для определения искомой работы остается взять определенный интеграл от (а) в пределах от 0 до S А . Получим
5. 2. Силовое поле. Силовая функция. Потенциальная энергия
Предположим, что точка движется в некотором пространстве и на нее со стороны пространства действует сила, которая зависит от положения точки в этом пространстве, но не зависит от скорости движения точки. В этом случае говорят, что в пространстве задано силовое поле , а также, что точка движется в силовом поле. Соответствующие понятия для системы материальных точек аналогичны.
Силы, зависящие от положения точек их приложения, в механике встречаются часто. Например, сила упругости, приложенная к материальной точке, которая движется по горизонтальной прямой под действием пружины. Важнейшим примером силового поля в природе является гравитационное поле: действие Солнца на планету данной массы определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяготения.
Силовое поле называется потенциальным , если существует скалярная функция U , зависящая только от координат , , точки -точки материальной системы (возможно, и от времени), такая, что
Функция называется силовой функцией .
Рассмотрим свойства силовой функции.
Элементарная работа (5.1) связана с силовой функцией следующим образом
Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функц ии.
Полная работа силы на участке от точки 
до точки 
(рис.5.1)
т.е. . (5.10)
Из полученных выражений следует, что
1. работа силы в потенциальном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю;
2. работа силы в потенциальном силовом поле зависит только от положения конечной и начальной точек, но сам путь перемещения роли не играет.
Потенциальная энергия. Потенциальной энергией П в рассматриваемой точке силового поля Р называют работу, которую совершают силы поля, действующую на материальную точку при ее перемещении из точки Р в начальную точку 1 , т.е.
П
= или П
= 
Свяжем силовую функцию U с потенциальной энергией. Имеем
Примеры вычисления потенциальной энергии
1. Однородное поле тяжести . Пусть m – масса точки; g – ускорение свободного падения. Тогда (рис. 5.2)
2. Силовое поле упругой пружины . Пусть материальная точка движется вдоль оси Ох (рис. 5.3) под действием пружины, к которой она прикреплена. Если при пружина не деформирована, то, полагая в формуле (5.5) , получим
.
5. 3. Кинетическая энергия
5. 3. 1. Кинетическая энергия системы. Теорема Кенига
Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости, т.е.
.
Кинетическая энергия, является скалярной положительной величиной. В системе СИ, единицей измерения кинетической энергии является джоуль: 
.
Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех точек, входящих в систему:
(5.11)
Скорости точек системы (5.1) определяются относительно неподвижной системы отсчета.
Совместим начало координат с центром масс системы. Предположим, что механическая система вместе с системой координат движется поступательно относительно неподвижной системы координат (рис.5.7). Точка – точка системы.
Тогда, на основании теоремы о сложении скоростей, абсолютная скорость точки Р k . системы запишется так векторная сумма переносной и относительной скоростей:
, (а)
где – скорость начала подвижной системы координат (переносная скорость, т.е. скорость центра масс системы); – скорость точки Р k относительно подвижной системы координат Оху z (относительная скорость).
Подставляя (а) в формулу (5.11), получаем
(5.12)
Здесь - масса всей системы.
Радиус-вектор центра масс системы в подвижной системе координат определяется, согласно (2.1), – 
, откуда 
, т.е. 
. Поскольку начало координат О
является центром масс системы, то , тогда , т.е. вторая сумма в выражении (5.12) равна нулю.
Таким образом, кинетическая энергия системы (5.12) имеет вид
(5.13)
Это равенство определяет теорему Кенига.
Теорема . Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.
5. 3. 2. Кинетическая энергия твердого тела
Твердое тело является частным случаем механической системы и рассматривается как непрерывно распределенная масса, тогда все суммы, входящие в выражение для кинетической энергии системы, переходят в интегралы. Так, для твердого тела формула (5.11) примет вид
. (5.14)
1. Кинетическая энергия твердого тела, двигающегося поступательно.
При этом виде движения скорости всех точек тела одинаковы (рис. 5.8). Вынося в формуле (5.14) за знак интеграла, получим
. (5.15)
Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела M на квадрат его скорости.
2. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Модуль скорости V любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен , где - модуль угловой скорости твердого тела, - расстояние от точки до оси вращения z (рис. 5.9). Подставляя в формулу (5.14), получим
здесь 
– момент инерции твердого тела относительно оси z
.
Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.
3. Кинетическая энергия твердого тела при плоско – параллельном движении
При плоско – параллельном движении скорость любой точки тела состоит из геометрической суммы скорости полюса и скорости точки при вращении вокруг полюса. Пусть тело движется плоско в плоскости Oxy , тогда
|| . За полюс выбираем центр масс тела, тогда в формуле (5.13), скорость есть скорость точки k
тела при ее вращении относительно полюса (центра масс) и равна 
, где расстояние k
-
ой точки до полюса. Тогда (5.13) перепишется
Имея в виду, что 
– момент инерции тела относительно оси z
, проходящей через полюс С
, последнее выражение можно переписать как
, (5.17)
при плоско – параллельном движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения.
5. 4. Теорема об изменении кинетической энергии
5. 4. 1. Теорема об изменении кинетической энергии точки
Найдем связь между работой и изменением скорости. Пусть материальная точка массой m перемещается вдоль оси Ох под действием силы, например сжатой или разжатой пружины, закрепленной в начале координат, – точке О (рис. 5.10). Уравнение движения точки имеет вид
Умножим обе части этого уравнения на , и, учитывая, что 
, получим
. (5.19)
В правой части этого равенства заменим V x на и умножим на dt правую и левую части. Тогда
. (5.20)
В этом виде равенство имеет очень наглядный смысл: при смещении точки на dx , сила совершает работу , в результате чего изменяется величина кинетической энергии точки , характеризующая движение точки и, в частности, модуль ее скорости. Если точка смещается из положения в , а ее скорость при этом изменяется от до , то, интегрируя (5.20), имеем
. (5.21)
Учитывая, что 
, окончательно находим
. (5.22)
Изменение кинетической энергии материальной точки при ее каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.
Проделывая все предыдущие процедуры, получим
,
здесь – дуга, вдоль которой перемещается точка (рис. 5.11).
5. 4. 2. Теорема об изменении кинетической энергии системы
Пусть точки системы массой переместились так, что их радиус-векторы в инерциальной системе отсчета получили приращение . Найдем, как при этом изменилась кинетическая энергия Т системы.
Согласно (5.11), кинетическая энергия системы
.
Вычислим дифференциал кинетической энергии системы и преобразуем полученное выражение
здесь 
Принимая во внимание, что 
, где - ускорение точки а и - равнодействующие внешних и внутренних сил, приложенных к точке, перепишем последнее равенство в виде
Таким образом,
. (5.23)
Последнее равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил системы.
Частный случай . Для абсолютно твердого тела сумма работ всех внутренних сил системы равна нулю:
.
Следовательно, теорему об изменении кинетической энергии (5.23) для твердого тела можно записать в виде
Изменение кинетической энергии твердого тела при каком-либо элементарном перемещении равно элементарной работе внешних сил, действующих на тело.
Если обе части (5.24) проинтегрировать между двумя положениями – начальным и конечным, в которых соответственно кинетическая энергия и , получаем
. (5.25)
Пример 1 . Диск массой m =5 кг и радиусом приводится в движение постоянной силой , приложенной в точке А (рис. 5.6). Диск катится по шероховатой поверхности вправо без скольжения. Определить скорость центра масс С катушки в момент, когда он переместится на расстояние , коэффициент трения скольжения , , радиус инерции диска
Решение. Диск совершает плоское движение. Запишем теорему об изменении кинетической энергии для твердого тела
Вычислим кинетическую энергию диска. В начальный момент времени диск находился в покое, т.е. . Кинетическая энергия в конечном положении диска
Введем понятие еще об одной основной динамической характеристике движения о кинетической энергии. Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.
Единица измерения кинетической энергии та же, что и работы (в СИ - 1 Дж). Найдем зависимость, которой связаны эти две величины.
Рассмотрим материальную точку с массой , перемещающуюся из положения , где она имеет скорость в положение , где ее скорость
Для получения искомой зависимости обратимся к выражающему основной закон динамики уравнению Проектируя обе его части на касательную к траектории точки М, направленную в сторону движения, получим
Входящее сюда касательное ускорение точки представим в виде
В результате найдем, что
Умножим обе части этого равенства на и внесем под знак дифференциала. Тогда, замечая, что где - элементарная работа силы получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме:
Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках найдем окончательно
Уравнение (52) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
Случай несвободного движения. При несвободном движении точки в правую часть равенства (52) войдет работа заданных (активных) сил и работа реакции связи. Ограничимся рассмотрением движения точки по неподвижной гладкой (лишенной трения) поверхности или кривой. В этом случае реакция N (см. рис. 233) будет направлена по нормали к траектории точки и . Тогда, согласно формуле (44), работа реакции неподвижной гладкой поверхности (или кривой) при любом перемещении точки будет равна нулю, и из уравнения (52) получим
Следовательно, при перемещении по неподвижной гладкой поверхности (или кривой) изменение кинетической энергии точки равно сумме работ на этом перемещении приложенных к точке активных сил.
Если поверхность (кривая) не является гладкой, то к работе активных сил прибавится работа силы трения (см. § 88). Если же поверхность (кривая) движется, то абсолютное перемещение точки М может не быть перпендикулярно N и тогда работа реакции N не будет равна нулю (например, работа реакции платформы лифта).
Решение задач. Теорема об изменении кинетической энергии [формула (52)] позволяет, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить работу действующих сил (первая задача динамики) или, зная работу действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их работу. Как видно из формул (44), (44), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от положения (координат) движущейся точки, как, например, силы упругости или тяготения (см. § 88).
Таким образом, формулу (52) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, перемещение точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины ), причем силы должны быть постоянными или зависящими только от положения (координат) точки.
Теорему в дифференциальной форме [формула (51)] можно, конечно, применять при любых действующих силах.
Задача 98. Груз массой кг, брошенный со скоростью из пункта А, находящегося на высоте (рис. 235), имеет в точке падения С скорость Определить, чему равна работа действующей на груз при его движении силы сопротивления воздуха
Решение. На груз при его движении действуют сила тяжести Р и сила сопротивления воздуха R. По теореме об изменении кинетической энергии, считая груз материальной точкой, имеем
Из этого равенства, так как согласно формуле находим
Задача 99. При условиях задачи 96 (см.[§ 84) определить, какой путь пройдет груз до остановки (см. рис, 223, где - начальное положение груза, а - конечное).
Решение. На груз, как и в задаче 96, действуют силы Р, N, F. Для определения тормозного пути учитывая, что в условия данной задачи входят и постоянная сила F, воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии
В рассматриваемом случае - скорость груза в момент остановки). Кроме того, так как силы Р и N перпендикулярны перемещению, В итоге получаем откуда находим
По результатам задачи 96 время торможения растет пропорционально начальной скорости, а тормозной путь, как мы нашли, - пропорционально квадрату начальной скорости. Применительно к наземному транспорту это показывает, как возрастает опасность с увеличением скорости движения.
Задача 100. Груз весом Р подвешен на нити длиной l Нить вместе с грузом отклоняют от вертикали на угол (рис. 236, а) и отпускают без начальной скорости. При движении на груз действует сила сопротивления R, которую приближенно заменяем ее средним значением Найти скорость груза в тот момент времени, когда нить образует с вертикалью угол
Решение. Учитывая условия задачи, воспользуемся опять теоремой (52):
На груз действуют сила тяжести Р, реакция нити сопротивления, представленная ее средним значением R. Для силы Р по формуле (47) для силы N, так как получим наконец, для силы так как по формуле (45) будет (длина s дуги равна произведению радиуса l на центральный угол ). Кроме того, по условиям задачи В результате равенство (а) дает:
При отсутствии сопротивления получаем отсюда известную формулу Галилея справедливую, очевидно, и для скорости свободно падающего груза (рис, 236, б).
В рассматриваемой задаче Тогда, введя еще обозначение - средняя сила сопротивления, приходящаяся на единицу веса груза), получаем окончательно
Задача 101. Пружина клапана имеет в недеформироваином состоянии длину см. При полностью открытом клапане ее длина см, а высота подъема клапана см (рис. 237). Жесткость пружины масса клапана кг. Пренебрегая действием силы тяжести и сил сопротивления, определить скорость клапана в момент его закрытая.
Решение, Воспользуемся уравнением
По условиям задачи работу совершает только сила упругости пружины. Тогда по формуле (48) будет
В данном случае
Кроме того, Подставляя все эти значения в уравнение (а), получим окончательно
Задача 102. Груз, лежащий на середине упругой балки (рис. 238), прогибает ее на величину (статистический прогиб балки) Пренебрегая весом балки, определить, чему будет равен ее максимальный прогиб если груз упадет на балку с высоты Н.
Решение. Как и в предыдущей задаче, воспользуемся для решения уравнением (52). В данном случае начальная скорость груза и конечная его скорость (В момент максимального прогиба балки) равны нулю и уравнение (52) принимает вид
Работу здесь совершают сила тяжести Р на перемещении и сила упругости балки F на перемещении При этом так как для балкн Подставляя эти величины в равенство (а), получим
Но при равновесии груза на балке сила тяжести уравновешивается силой упругости, следовательно, и предыдущее равенство можно представить в виде
Решая это квадратное уравнение и учитывая, что по условиям задачи должно быть находим
Интересно отметить, что при получается Следовательно, если груз положить на середину горизонтальной балки, то ее максимальный прогиб при опускании груза будет равен удвоенному статическому. В дальнейшем груз начнет вместе с балкой совершать колебания около равновесного положения. Под влиянием сопротивлений эти колебания затухнут и система уравновесится в положении, при котором прогиб балки равен
Задача 103. Определить, наименьшую направленную вертикально виерх начальную скорость надо сообщить телу, чтобы оно поднялось с поверхности Земли на заданную высоту Н (рис 239) Силу притяжения считать изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Рассматривая тело как материальную точку с массой , воспользуемся уравнением
Работу здесь совершает сила тяготения F. Тогда по формуле (50), учитывая, что в данном случае где R - радиус Земли, получим
Так как в наивысшей точке то при найденном значении работы уравнение (а) дает
Рассмотрим частные случай:
а) пусть Н очень мало по сравнению с R. Тогда - величина, близкая к нулю. Деля числитель и знаменатель получим
Таким образом, при малых Н приходим к формуле Галилея;
б) найдем, при какой начальной скорости брошенное тело уйдет в бесконечность, Деля числитель и знаменатель на А, получим